4. Операции дисконтирования
В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV), такая операция называется дисконтирование.
Дисконтирование — определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину. Такую операцию называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной или текущей) величиной FV. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени.
Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:
1) математическое дисконтирование по процентной ставке
а) начисление простых процентов
(4.1)
б) начисление сложных процентов
проценты начисляются один раз в год
(4.2)
проценты начисляются чаще одного раза в год (m раз в году):
, (4.3)
где (1+i) — n и 
– коэффициенты дисконтирования, которые можно определить по таблице в приложении Г.
2) банковский учет по учетной ставке (банковское дисконтирование)
а) начисление простых процентов
(4.4)
б) начисление сложных процентов
проценты начисляются один раз в год:
(4.5)
проценты начисляются чаще одного раза в год:
(4.6)
Пример 1. Через 6 месяцев фирме потребуется сумма денег в размере 30000 грн. Какую сумму необходимо сегодня поместить в банк на депозитный счет, начисляющий 25 % сложных годовых, чтобы через 6 месяцев получить требуемую сумму?
Решение:
Используем формулу приведения для сложных процентов (4.2):
PV = FV*/ (1 + i) — n = 30000* (1 + 0,25) -0,5 = 26832,82 грн
или найдем по таблице приложения Д коэффициент дисконтирования
PV = FV*• kд = 30000 * 0,894427 = 26832,82 грн.
Таким образом, фирме следует разместить на счете 26832,82 грн. под 25% годовых, чтобы через 6 месяцев получить необходимые 30000 грн.
Пример 2. Вексель выдан на 5000 грн. с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19 августа по простой учетной ставке 16 %. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта.
Решение:
Для определения суммы при учете векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств:
t = 13 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 17 (ноябрь) — 1 =
По формуле банковского учета простых процентов (4.4):
PV = FV*• (1 – d* t / K ) = 5000 * (1 – 0.16* 90 / 360) = 4800 грн.
D = FV — PV = 5000 — 4800 = 200 грн.
Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4800 грн., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 200 грн.
Вопросы для самостоятельного изучения
1. Экономический смысл коэффициента дисконтирования.
2. Современная ценность денег.
3. Математическое дисконтирование.
4. Банковский учет.
5. Операции по учету векселей.
1. Требуется обеспечить получение 10000 грн. через полгода. Сколько надо вложить для этой цели денег в коммерческий банк при начислении простых и сложных процентов в размере 16 % годовых. Сделать вывод, какой метод более выгоден клиенту.
2. Банк ежегодно начисляет сложные проценты на вклады по ставке 20 % годовых. Определить сумму, которую надо положить в банк, чтобы через 3 года накопить 10000 грн.
3. Вексель номиналом 10000 грн. со сроком погашения 3 сентября учтен 3 июня при 19 % сложных годовых. Определить сумму учета векселя и сумму дисконта.
4. 10 апреля был учтен вексель со сроком погашения 10 июня. Найти номинал векселя, если учетная ставка банка 15 % сложных годовых, а векселедержатель получил 10 апреля 59400 грн.
5. Покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 20000 грн. Уровень простой процентной ставки составляет 21 % годовых. При начислении используются обыкновенные проценты. Найти и выбрать наиболее выгодный вариант для кредитора в следующих случаях:
а) текущую стоимость товаров методом математического дисконтирования;
б) текущую стоимость товаров методом банковского учета.
6. Вексель выдан на 10000 грн. с уплатой 23 ноября. Владелец документа учел его в банке 23 сентября. Учетная ставка равна 18 % сложных годовых. Найти сумму, которую выплатит банк при учете векселя.
7. Через полгода заемщик должен уплатить 5000 грн. Ссуда выдана под 20 % сложных годовых. Найти, какую сумму получит заемщик при заключении сделки:
а) при математическом дисконтировании;
б) при банковском учете.
8. Предприятие досрочно предъявило в банк к оплате купленный ранее дисконтный вексель этого банка. Срок платежа по векселю наступит через 10 дней. Номинал векселя равен 50000 грн. Учетная ставка – 16 % годовых. Требуется при временной базе 365 дней:
а) рассчитать сумму дисконта по векселю;
б) определить сумму, которую банк заплатит по векселю.
9. Вексель с суммой погашения 60000 грн 16 августа продан за 590000 грн. 16 июня. Определить:
а) какая норма простого дисконта была использована;
б) какую норму простого процента реализовал покупатель в результате сделки.
10. Инвестор ссудил 34 000 грн. и получил вексель с обязательством заплатить эту сумму плюс 17 % простых процентов через 90 дней. Вексель был немедленно продан банку, который начисляет 16 % банковского дисконта. Определить при временной базе 365 дней:
а) сколько заплатил банк за вексель;
б) какова прибыль инвестора;
в) какую норму процента реализует банк при погашении векселя.
11. Выдана расписка следующего содержания:
«1 апреля 2009 г.
Через 150 дней после указанной даты я обязуюсь заплатить Иванову 2000 грн и обыкновенный простой процент 20 % годовых. Подпись »
Найти сумму погашения, дисконт банка и дату окончания расписки, если расписка продана 31 мая 2009 г. при 18 % простых годовых.
12. Какова сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 15000 грн., если срок до его погашения равен 2,5 года, а покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную 16 %?
13. Вексель учитывается в банке за 40 дней до его оплаты по ставке 15 % простых годовых. При учете векселя с его владельца удержаны комиссионные в размере 1 %. Определить доходность этой операции для банка, учитывающего вексель.
Возможно несколько вариантов ответов
1. Дисконтирование – это:
a) процесс начисления и удержания процентов вперед;
b) определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину;
c) разность между наращенной и первоначальной суммами;
d) математическая операция обратная наращению.
Учетная ставка применяется в:
a) математическом дисконтировании;
b) банковском (коммерческом) учете;
c) декурсивном методе начисления процентов
3. Банковский учет – это учет по:
a) учетной ставке;
b) процентной ставке;
c) ставке рефинансирования;
d) ставке дисконтирования.
4. В формуле РV=FV(1 – d*n) переменная d называется
а) простой учетной ставкой;
b) сложной постоянной ставкой процентов;
c) простой постоянной ставкой процентов;
d) простой переменной ставкой процентов;
e) сложной учетной ставкой процентов.
5. Дисконтирование по сложным процентным ставкам осуществляется по формуле:
a) PV = FV*(1 + i) -n ;
b) PV = FV*(1 + i*n) -1 ;
c) PV = FV*(1 – d) n ;
d) PV = FV*(1 + i) n .
6. Дисконтирование по простой учетной ставке осуществляется по формуле:
7. Чем меньше процентная ставка, тем:
a) выше современная величина;
b) ниже современная величина;
c) на современную величину это не оказывает влияния.
8. Что выгоднее для должника:
a) дисконтирование по сложной учетной ставке;
b) дисконтирование по простой учетной ставке.
9. При ставке дисконтирования в 10% коэффициент дисконтирования первого года будет равен:
e) все ответы неверны.
10. Срок оплаты по долговому обязательству на сумму 5000 грн. наступает через 5 лет. Годовая учетная ставка равна 15%. Имеется три способа продажи этого обязательства:
1) с годовым удержанием сложных процентов;
2) то же при простой учетной ставке;
3) с дисконтом при полугодовом учете по сложной ставке.
Определить способ, наиболее предпочтительный для продавца, и указать разницу в доходах по сравнению с наихудшим вариантом:
Банковский учет
Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки (i) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму:
для простых процентов
где kд – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.
Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.
Пример. Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга.
Решение:
Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:
= 310’000 • 1 / (1 + 150 / 360 • 0,08) = 300’000 руб.
PV = FV • kд = 310’000 • 0,9677419 = 300’000 руб.
Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней – 10 тыс. руб.
Для сложных процентов
где kд – дисконтный множитель для сложных процентов.
Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:
Пример. Через два года фирме потребуется деньги в размере 30 млн руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму?
Решение:
Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что используем формулу приведения для сложных процентов:
= 30’000’000 • 1 / (1 + 0,25) 2 = 19’200’000 руб.
PV = FV • kд = 30’000’000 • 0,6400000 = 19’200’000 руб.
Таким образом, фирме следует разместить на счете 19’200’000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30’000’000 руб.
Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.
В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.
Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.
Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.
Для расчета дисконта используется учетная ставка:
- простая учетная ставка:
D = FV — PV = FV • n • d = FV • t / T • d,
где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.
PV = FV — FV • n • d = FV • (1 — n • d),
где (1 — n • d) – дисконтный множитель.
Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.
Пример. Вексель выдан на 5’000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19 августа по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и доход банка при реализации дисконта.
Решение:
Для определения суммы при учете векселя рассчитываем число дней, оставшихся до погашения обязательств:
t = 13 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 17 (ноябрь) — 1 = 90 дней.
Отсюда, определяемая сумма:
PV = FV • (1 — t / T • d) = 5’000 • (1 — 90 / 360 • 0,08) = 4’900 руб.
Тогда дисконт составит:
D = FV — PV = 5’000 — 4’900 = 100 руб.
D = FV • t / T • d = 5’000 • 90 / 360 • 0,08 = 100 руб.
Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4’900 руб., а банк при наступлении срока векселя реализует дисконт в размере 100 руб.
- по сложной учетной ставке:
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.
Пример. Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 30%.
Решение:
Используя формулу дисконтирования по сложной учетной ставке, определяем:
PV = FV • (1 — d) n = 55’000 • (1 — 0,3) 2 = 26’950 руб.
Заемщик может получить ссуду в размере 26’950 руб., а через два года вернет 55 тыс. руб.
Объединение платежей можно производить и на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей формуле:
где tj – интервал времени между сроками векселей.
Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. со сроком погашения 10.06, а также вексель на сумму 20 тыс. руб. со сроком погашения 01.08 заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применяется учетная ставка 25%. Определить сумму консолидированного векселя.
Решение:
Для использования формулы консолидированного платежа необходимо определить срок пролонгации векселей:
t 1 = 21 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1 (октябрь) — 1 = 113 дней,
t 2 = 31 (август) + 30 (сентябрь) + 1(октябрь) — 1 = 61 день.
Тогда, сумма консолидированного векселя:
= 10’000 • (1 — 113 / 360 • 0,25) -1 + 20’000 • (1 — 61 / 360 • 0,25) -1 =
Таким образом, сумма консолидированного векселя с датой погашения 01.10 составит 31’736 руб.
В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке:
где PV 1 – первоначальная сумма долга;
PV 2 – сумма, получаемая при учете обязательства;
n 1 – общий срок платежного обязательства;
n 2 – срок от момента учета до погашения.
Пример. Обязательство уплатить через 100 дней сумму долга в размере 50 тыс. руб. с начисляемыми на нее точными процентами по ставке 40%, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 25%. Определить сумму, полученную при учете обязательства.
Решение:
Следует обратить внимание на различие временных баз, используемых при наращении и учете:
= 50’000 • (1 + 100 / 365 • 0,4) • (1 — 25 / 360 • 0,25) = 54’516 руб.
Следовательно, сумма, получаемая при учете данного обязательства, составит 54’516 руб.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Банковский учет это учет по какой ставке
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Английская практика начисления процентов — точный процент с точным числом дней финансовой операции.
Абсолютный грант-элемент — разность номинальной суммы займа и современной величины платежей по погашению займов, рассчитанной по рыночной ставке.
Американский опцион — если предусматривается возможность исполнения опциона в любой момент до оговоренного в контракте дня.
Банковский учет — это учет по учетной ставке.
Вечная рента — это рента с бесконечным числом членов.
Выкуп ренты — замена ренты разовым платежем.
Германская практика начисления процентов — обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции.
Грант-элемнт — условная потеря заимодавца, которая связана с применением более низкой процентной ставки, чем существующие ставки кредитного рынка.
Дисконтирование — вычисление по формуле сложных процентов, применяемое для определения стоимости денежных средств при расчетах по вкладам, займам, страхованию, амортизации и т.п.
Дисконт — разность между заданной суммой и суммой полученной ссуды, в случае, когда сумма полученной ссуды определена дисконтированием.
Европейский опцион — опцион, который может быть реализован только оговоренный в контракте день, день исполнения.
Ипотека — долговой инструмент, посредством которого заемщик передает кредитору свое имущество(обычно недвижимость) в залог с правом удержания при невыполнении долговых обязательств. При этом сохраняется право использования заемщиком данного имущества.
Инфляция — переполнение сферы обращения избыточной денежной массой при отсутствии адекватного увеличения товароной массы, что вызывает обесценивание денежной единицы.
Консолидация рент — объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну.
Налоги — обязательные, индивидуальные безвозмездные платежи, взимаемые с организаций и физических лиц в форме отчуждения принадлежащих им на праве собственности, хозяйственного ведения или оперативного управления денежных средств в целях финансового обеспечения деятельности государства и муниципальных образований.
Наращенная сумма — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.
Номинальная ставка — годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.
Опцион — право, но не обязательство, купить/продать некоторые финансовые инструменты, акции или валюту по оговоренной цене при наступлении срока или до него.
Относительный грант-элемент — отношение абсолютного грант-элемента к сумме займа.
Проценты сложные — начисление процентов на проценты, расчет процентов на два или большее число периодов, проводимый таким образом, что процент начисляется не только на исходную сумму, но и на процент, начисленный в предыдущем периоде.
Период ренты — временной интервал между двумя последовательными платежами
Поток платежей — распределенные во времени выплаты и поступления.
Рассрочка платежа — замена разового платежа рентой.
Расходы по обслуживанию долга — текущие процентные платежи, средства, предназначенные для погашения основного долга.
Рента — поток платежей, все члены которого-положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы.
Регулярный поток платежей — размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусматривающему равные интервалы между платежами.
Ренты постнумерандо — платежи осуществляются в конце периодов ренты.
Ренты пренумерандо — платежи производятся в начале периодов ренты.
Срок ренты — время от начала первого периода ренты до конца последнего.
Страховые аннуитеты — последовательные платежи в имущественном или личном страховании.
Современная стоимость — сумма полученной ссуды, найденная с помощью дисконтирования.
Современная стоимость потока платежей — сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.
Темп инфляции — относительный прирост цен за период.
Учет векселей — погашение векселя путем оплаты векселедателем номинала векселя и процентов по векселю денежными средствами.
Учетная ставка — сумма, которая удерживается банком в свою пользу при покупке (учете) векселя из его номинала.
Французская практика начисления процентов — обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции.
Цена исполнения — Оговоренная в контракте цена объекта опциона.
Член ренты — размер отдельного платежа.
Член потока — отдельный элемент ряда платежей.
Эффективная ставка — годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m
Дисконтирование и удержание процентов. Банковский учет
Дисконтирование и удержание процентов является, по сути, обратными операциями по отношению к начислению процентов. Различают математическое дисконтирование и банковский учет.
Математическое дисконтирование позволяет узнать какую исходную сумму нужно вложить, чтобы получить по истечении определенного времени, например, n-лет наращенную сумму при наращении по годовой процентной ставке i.
1) В случае простых процентов из формулы (1.2) следует
или из формулы (1.4) можно определить
2) В случае сложных процентов из формулы (1.6) следует
или из формулы (1.7) можно определить
при m-кратном начислении процентов математическое дисконтирование определяется формулой
где определяется формулой (1.11).
Величина называется приведенным значением величины При математическом дисконтировании годовые процентные ставки i называются ставками дисконтирования.
Банковский учет – это покупка банком денежных обязательств (денежных эквивалентов) по цене меньшей номинальной, указанной в обязательствах суммы.
Примером денежных обязательств может служить вексель — долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал, указанный в векселе) в определенный срок.
В случае покупки банком векселя говорят, что он учитывается банком по номинальной сумме , а клиенту выплачивается сумма
где — номинальная сумма векселя;
— цена покупки банком векселя за n-лет до срока его погашения;
— дисконт или доход банка.
Формулу (1.16) можно записать в виде:
При n равном одному году отношение называют годовой учетной ставкой денежных обязательств или банковской ставкой дисконтирования.
Учет денежных обязательств может осуществляться банком по простой и сложной схеме дисконтирования.
В случае простой схемы дисконтирования последовательность сумм, которые могут быть выплачены клиенту при увеличении n образуют убывающую арифметическую прогрессию с общим членом
равным сумме, которую получит клиент от банка за n-лет до погашения денежного обязательства.
В случае сложной схемы последовательность сумм, которые могут быть выплачены при увеличении n образуют геометрическую убывающую прогрессию со знаменателем и общим членом
равным сумме, которую получит клиент от банка за n-лет до срока погашения денежного обязательства.
При сроке до погашения денежного обязательства не кратному одному году формулы дисконтирования по простой и сложной схеме можно записать в виде:
где t – количество дней до срока погашения денежного обязательства;
Расчеты, проведенные по формулам (1.19) позволяют сделать следующие выводы:
1) Зависимость от t при простой схеме дисконтирования является линейной спадающей функцией (см. рис. 1.3). При клиенту не имеет смысла закладывать денежные обязательства, так как выплачиваемая ему банком сумма будет равна нулю.
2) Зависимость от t при сложной схеме банковского дисконтирования является показательной при основании показательной функции (см. рис. 1.4).
Рис. 1.4. Дисконтирование по простой и сложной ставкам
3) Сумма, выплачиваемая клиенту при сроке n = 1 год до погашения денежного обязательства при его учете по простой и сложной схеме одинаковы.
4) При сроке учета t меньше одного года банку выгоднее учитывать денежное обязательство по сложной ставке дисконтирования, а при сроке учета больше года – по простой учетной ставке.