Что за функции, обозначаемые sh, ch, th, cth?
Эти функции чем-то похожи на тригонометрические, но отличаются от них. Что это за функции, где возникают и для чего служат?
Это гиперболичесике функции ("обычные" синусы-тангенсы называются круговыми функциями). Называются они так потому, что уравнение, из которого такие функции выползают, — это уравнение гиперболы, тогда как уравнение, для которого подходят обычные синусы и косинусы, — это уравнение окружности.
Уравнение гиперболы отличается от уравнения окружности только знаком при y^2.
У круговых функций и у гиперболических много общего. И те, и другие выражаются через экспоненту. Но если у круговых функций показатель экспоненты чисто мнимый (формула Муавра; кстати, именно в трудах Муавра впервые появляются гиперболические функции), то у гиперболических он чисто вещественный. Для гиперболических функций тоже есть своя "тригонометрическая единица", только равна ей не сумма, а РАЗНОСТЬ квадратов косинуса и синуса (это как раз проявление различия между уравнениями окружности и гиперболы). Для гиперболических функций точно так же есть свои формулы сложения функций и аргументов, функции понижения степени, функции двойного угла и т. д. Всё то же самое, что и для круговых функций.
В инженерной практике чаще всего встречается гиперболический косинус, график которого называется цепной линией: именно по гиперболическому косинусу провисает подвешенная за оба конца верёвка. Поэтому и форма арки в виде гиперболического косинуса с точки дрения прочности конструкции оказывается оптимальной.
Гиперболические функции
Решил тут разобраться с решением кубических уравнений. Это конечно отдельная тема, однако решение там выражается через гиперболические функции, точнее, обратные гиперболические функции. Статья и калькулятор Тригонометрические функции у нас есть, и даже есть статья и калькулятор Обратные тригонометрические функции, а вот про гиперболические функции ничего еще нет. Исправляем эту досадную оплошность. Калькулятор ниже, описание гиперболических функций — под ним.
Гиперболические функции
Функции sh, ch, th, sech определены и непрерывны на всей числовой оси. Функции cth, csch не определены в точке x=0.
Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси и проходящей через нуль — . Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке от минус бесконечности до нуля, и возрастающей на промежутке от нуля до плюс бесконечности При этом — минимум этой функции.
Справочные данные по гиперболическим функциям – свойства, графики, формулы
Определения гиперболических функций, их области определений и значений
Графики гиперболических функций
График гиперболического синуса y = sh x 
График гиперболического косинуса y = ch x 
График гиперболического тангенса y = th x 
График гиперболического котангенса y = cth x
Формулы с гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = – i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = – i ctg z
Здесь i – мнимая единица, i 2 = – 1 .
Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.
Четность
sh( –x ) = – sh x ; ch( –x ) = ch x .
th( –x ) = – th x ; cth( –x ) = – cth x .
Функция ch( x ) – четная. Функции sh( x ) , th( x ) , cth( x ) – нечетные.
Разность квадратов
ch 2 x – sh 2 x = 1 .
Формулы суммы и разности аргументов
sh( x ± y ) = sh x ch y ± ch x sh y ,
ch( x ± y ) = ch x ch y ± sh x sh y ,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x ,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x – 1 = 1 + 2 sh 2 x ,
.
Учебник. Гиперболические функции
Функция sh x = e x — e — x 2 называется гиперболическим синусом. Функция ch x = e x + e — x 2 н азывается гиперболическим косинусом.
Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.
Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на и возрастающей на . является минимумом
Графики функций y = sh x и y = ch x
По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс: th x = sh x ch x , cth x = ch x sh x .
Тангенс определён на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0 ( lim x → ± 0 cth x = ± ∞ ). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные ( и (
Графики функций y = th x и y = сth x
Приведём некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.
sh x + ch x = e x
ch 2 x – sh 2 x = 1 ch 2x = ch 2 x + sh 2 x sh 2x = 2 sh x ch x sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y
Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch– x при x ≤ 0 и arch+ x при x ≥ 0.
Графики функций y = arsh x и y = arth x. 
Графики функции y = arch– x и y = arch+ x.
В заключение приведём формулы для обратных гиперболических функций: arsh x = ln x + 1 + x 2 , x ∈ ℝ arth x = 1 2 ln 1 + x 1 — x , |x| < 1, arch — x = ln x — x 2 — 1 , x ≥ 1, arch + x = ln x + x 2 — 1 , x ≥ 1.