Факторный анализ: основные принципы и методы исследования
Факторный анализ – метод статистического анализа, направленный на выявление скрытых факторов, описывающих взаимосвязь между наблюдаемыми переменными, и их интерпретацию для принятия решений в практических задачах.
Введение
Факторный анализ – это статистический метод, который позволяет исследовать взаимосвязи между набором переменных и выявить скрытые факторы, которые объясняют эти взаимосвязи. Он широко применяется в различных областях, таких как психология, социология, экономика и маркетинг, для анализа данных и построения моделей.
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Определение факторного анализа
Факторный анализ – это статистический метод, который используется для исследования взаимосвязей между набором переменных. Он позволяет выявить скрытые факторы или латентные переменные, которые объясняют наблюдаемые паттерны в данных.
В контексте факторного анализа, переменные могут быть любого типа – количественные, категориальные или бинарные. Цель факторного анализа заключается в упрощении сложных данных путем выделения общих факторов, которые объясняют большую часть изменчивости в наборе переменных.
Факторный анализ основан на предположении, что наблюдаемые переменные связаны с латентными переменными, называемыми факторами. Факторы могут быть интерпретированы как скрытые конструкты или характеристики, которые влияют на наблюдаемые переменные. Факторный анализ позволяет определить, какие переменные сильно связаны с каждым фактором и какие переменные могут быть объединены в один фактор.
Факторный анализ может быть использован в различных областях, таких как психология, социология, маркетинг и экономика. Он помогает исследователям понять структуру данных, выявить скрытые паттерны и сделать выводы о взаимосвязях между переменными.
Цели и задачи факторного анализа
Факторный анализ – это статистический метод, который используется для исследования структуры данных и выявления скрытых факторов, которые объясняют вариацию в наборе переменных. Основная цель факторного анализа – упростить сложные данные и выделить наиболее значимые факторы, которые могут быть использованы для объяснения взаимосвязей между переменными.
Цели факторного анализа:
1. Идентификация скрытых факторов: Факторный анализ позволяет исследователям выявить скрытые факторы, которые могут быть ответственными за вариацию в наборе переменных. Это помогает понять, какие переменные на самом деле влияют на исследуемый явления и как они связаны между собой.
2. Упрощение данных: Факторный анализ позволяет сократить количество переменных, объединив их в более общие факторы. Это помогает упростить анализ данных и сделать его более понятным и интерпретируемым.
3. Построение модели: Факторный анализ может использоваться для построения модели, которая объясняет взаимосвязи между переменными. Это позволяет исследователям предсказывать значения переменных на основе значений других переменных и выявлять важные факторы, которые влияют на исследуемое явление.
Задачи факторного анализа:
1. Определение числа факторов: Одной из задач факторного анализа является определение оптимального числа факторов, которые объясняют вариацию в данных. Это может быть сделано с помощью различных статистических критериев, таких как критерий Кайзера или критерий собственных значений.
2. Определение структуры факторов: Факторный анализ также помогает определить структуру факторов, то есть определить, какие переменные объединены в один фактор. Это может быть сделано с помощью факторных нагрузок, которые показывают, насколько каждая переменная влияет на определенный фактор.
3. Интерпретация результатов: Факторный анализ помогает исследователям интерпретировать результаты и сделать выводы о взаимосвязях между переменными. Это может быть сделано с помощью анализа факторных нагрузок, факторных структур и корреляций между факторами.
В целом, факторный анализ является мощным инструментом для исследования структуры данных и выявления скрытых факторов, которые могут быть использованы для объяснения взаимосвязей между переменными.
Принципы факторного анализа
Принцип измерения
Факторный анализ основан на предположении, что наблюдаемые переменные являются проявлениями скрытых факторов. Эти скрытые факторы не могут быть измерены напрямую, но могут быть выявлены через анализ взаимосвязей между переменными.
Принцип разложения
Факторный анализ стремится разложить наблюдаемые переменные на независимые факторы, которые объясняют большую часть их вариации. Это позволяет упростить сложные данные и выделить основные факторы, которые влияют на наблюдаемые переменные.
Принцип ортогональности
Факторы, полученные в результате факторного анализа, должны быть ортогональными, то есть независимыми друг от друга. Это означает, что каждый фактор должен объяснять уникальную часть вариации в данных и не должен быть коррелирован с другими факторами.
Принцип интерпретируемости
Факторный анализ стремится создать интерпретируемые факторы, которые могут быть легко объяснены и поняты. Это достигается путем выбора переменных, которые наиболее сильно связаны с каждым фактором, и дальнейшей интерпретации этих связей.
Принцип экономии
Факторный анализ стремится найти наименьшее количество факторов, которые объясняют наибольшую часть вариации в данных. Это позволяет упростить модель и сократить количество переменных, необходимых для объяснения данных.
Принцип проверки
Факторный анализ требует проверки статистической значимости полученных результатов. Это включает в себя проведение тестов на значимость факторов, оценку надежности и стабильности факторной структуры, а также проверку соответствия модели данным.
Методы факторного анализа
Метод главных компонент
Метод главных компонент является одним из наиболее распространенных методов факторного анализа. Он основан на поиске линейных комбинаций исходных переменных, называемых главными компонентами, которые объясняют наибольшую долю дисперсии в данных. Главные компоненты рассматриваются как новые переменные, которые могут быть использованы для анализа данных.
Метод максимального правдоподобия
Метод максимального правдоподобия используется для оценки параметров факторной модели на основе максимизации функции правдоподобия. Этот метод предполагает, что данные распределены нормально и позволяет оценить параметры модели, такие как факторные нагрузки и ковариационные матрицы.
Метод анализа главных факторов
Метод анализа главных факторов является вариантом метода главных компонент, который учитывает только те главные компоненты, которые имеют собственные значения, превышающие заданный порог. Это позволяет сократить количество факторов и упростить интерпретацию результатов.
Метод максимальной вероятности
Метод максимальной вероятности используется для оценки параметров факторной модели на основе максимизации функции правдоподобия. Он предполагает, что данные распределены многомерным нормальным распределением и позволяет оценить параметры модели, такие как факторные нагрузки и ковариационные матрицы.
Метод обобщенного метода наименьших квадратов
Метод обобщенного метода наименьших квадратов используется для оценки параметров факторной модели на основе минимизации суммы квадратов остатков. Он предполагает, что данные распределены нормально и позволяет оценить параметры модели, такие как факторные нагрузки и ковариационные матрицы.
Метод максимального правдоподобия с использованием матрицы полной информации
Метод максимального правдоподобия с использованием матрицы полной информации используется для оценки параметров факторной модели на основе максимизации функции правдоподобия с использованием всех доступных данных. Этот метод учитывает все имеющиеся данные и позволяет получить более точные оценки параметров модели.
Процесс проведения факторного анализа
Процесс проведения факторного анализа включает несколько этапов:
Подготовка данных
На этом этапе необходимо подготовить данные для анализа. Это включает в себя очистку данных от выбросов и пропущенных значений, а также приведение данных к нужному формату.
Выбор метода факторного анализа
Существует несколько методов факторного анализа, таких как метод главных компонент, метод максимального правдоподобия и метод обобщенных наименьших квадратов. На этом этапе необходимо выбрать подходящий метод в зависимости от целей и особенностей исследования.
Определение числа факторов
Определение числа факторов является важным шагом в факторном анализе. На этом этапе необходимо определить, сколько факторов следует использовать для анализа данных. Это можно сделать с помощью различных критериев, таких как критерий Кайзера, критерий сломанной трости и критерий собственных значений.
Оценка параметров модели
На этом этапе необходимо оценить параметры факторной модели. Это включает в себя оценку факторных нагрузок, факторных весов и дисперсии ошибок. Для этого используются различные методы, такие как метод максимального правдоподобия или метод обобщенных наименьших квадратов.
Интерпретация результатов
После оценки параметров модели необходимо проанализировать и интерпретировать полученные результаты. Это включает в себя анализ факторных нагрузок, которые показывают, насколько каждая переменная связана с каждым фактором, а также анализ факторных весов, которые показывают, какие переменные имеют наибольшее влияние на каждый фактор.
Проверка адекватности модели
На последнем этапе необходимо проверить адекватность построенной модели. Это можно сделать с помощью различных статистических тестов, таких как тест Кайзера-Мейера-Олкина и тест Бартлетта. Если модель не является адекватной, то необходимо внести корректировки или выбрать другой метод факторного анализа.
Интерпретация результатов факторного анализа
После проведения факторного анализа и получения факторных нагрузок, необходимо проанализировать и интерпретировать полученные результаты. Важно понять, какие факторы объясняют наибольшую долю дисперсии и какие переменные наиболее сильно связаны с каждым фактором.
Определение факторов
Первым шагом в интерпретации результатов является определение факторов. Факторы представляют собой латентные переменные, которые объясняют наблюдаемые переменные. Каждый фактор имеет свою уникальную характеристику или тему, которую можно назвать в соответствии с содержанием переменных, наиболее сильно связанных с этим фактором.
Оценка факторных нагрузок
Далее необходимо оценить факторные нагрузки, которые показывают, насколько каждая переменная связана с каждым фактором. Факторные нагрузки могут быть положительными или отрицательными, и их абсолютное значение показывает силу связи между переменной и фактором. Чем выше абсолютное значение факторной нагрузки, тем сильнее связь.
Интерпретация факторных нагрузок
Интерпретация факторных нагрузок может быть субъективной и зависит от контекста исследования. Однако, обычно переменные с наибольшими факторными нагрузками считаются наиболее важными для данного фактора. Также можно обратить внимание на переменные с высокими факторными нагрузками на несколько факторов, так как они могут быть связаны с несколькими темами или концептами.
Интерпретация доли дисперсии
Доля дисперсии, объясненная каждым фактором, также является важным показателем. Чем выше доля дисперсии, тем больше вклад фактора в объяснение общей вариации данных. Обычно факторы, объясняющие более 5-10% дисперсии, считаются значимыми.
Интерпретация факторной структуры
Факторная структура показывает, какие переменные сильно связаны с каждым фактором. Можно обратить внимание на переменные с наибольшими факторными нагрузками и сравнить их с содержанием фактора, чтобы понять, какие концепты или темы они представляют. Также можно проанализировать корреляции между факторами и выявить возможные взаимосвязи между ними.
Важно помнить, что интерпретация результатов факторного анализа является искусством и требует экспертного знания предметной области и тщательного анализа данных. Она может быть полезной для выявления скрытых факторов, понимания структуры данных и разработки новых концепций или теорий.
Применение факторного анализа в практических задачах
Факторный анализ является мощным инструментом, который может быть применен в различных практических задачах. Ниже приведены некоторые примеры его применения:
Маркетинговые исследования
Факторный анализ может быть использован для анализа данных о предпочтениях и поведении потребителей. Например, в маркетинговых исследованиях можно провести факторный анализ для выявления основных факторов, влияющих на выбор продукта или бренда. Это позволяет компаниям лучше понять потребности и предпочтения своих клиентов и разработать более эффективные маркетинговые стратегии.
Психологические исследования
Факторный анализ широко используется в психологических исследованиях для изучения структуры личности, интеллекта, эмоций и других психологических конструктов. Он позволяет выявить основные факторы, которые объясняют вариацию в данных и помогает исследователям лучше понять и классифицировать эти конструкты.
Социологические исследования
Факторный анализ может быть полезен в социологических исследованиях для анализа социальных и экономических данных. Например, он может быть использован для выявления факторов, влияющих на уровень образования, доходы или политические предпочтения населения. Это помогает социологам лучше понять социальные процессы и разработать соответствующие политики и программы.
Медицинские исследования
Факторный анализ может быть применен в медицинских исследованиях для анализа данных о здоровье и болезнях. Например, он может быть использован для выявления факторов, влияющих на развитие определенных заболеваний или эффективность лечения. Это помогает врачам и исследователям лучше понять причины и механизмы заболеваний и разработать более эффективные методы профилактики и лечения.
Это лишь некоторые примеры применения факторного анализа в практических задачах. Он может быть использован во многих других областях, где требуется анализ данных и выявление скрытых факторов. Важно помнить, что правильное применение факторного анализа требует тщательного подхода к анализу данных и интерпретации результатов.
Ограничения и предположения факторного анализа
Факторный анализ является мощным инструментом для анализа данных, однако он также имеет свои ограничения и предположения, которые необходимо учитывать при его применении. Вот некоторые из них:
Линейность
Факторный анализ предполагает линейные отношения между переменными. Если данные содержат нелинейные зависимости, то результаты факторного анализа могут быть неправильными или искаженными.
Нормальность
Факторный анализ предполагает нормальное распределение данных. Если данные не являются нормально распределенными, то результаты факторного анализа могут быть неправильными или искаженными. В таких случаях может потребоваться применение методов преобразования данных для достижения нормальности.
Независимость
Факторный анализ предполагает, что переменные являются независимыми друг от друга. Если данные содержат зависимости между переменными, то результаты факторного анализа могут быть неправильными или искаженными. В таких случаях может потребоваться применение методов для учета зависимостей, например, структурного уравнения.
Отсутствие выбросов
Факторный анализ чувствителен к выбросам в данных. Если данные содержат выбросы, то результаты факторного анализа могут быть неправильными или искаженными. В таких случаях может потребоваться удаление выбросов или применение методов для учета выбросов.
Большое количество переменных
Факторный анализ может столкнуться с проблемой, когда количество переменных превышает количество наблюдений. В таких случаях может потребоваться применение методов сокращения размерности данных, например, метод главных компонент или метод максимального правдоподобия.
Учитывая эти ограничения и предположения, необходимо тщательно подходить к применению факторного анализа и учитывать особенности данных, чтобы получить корректные и интерпретируемые результаты.
Примеры использования факторного анализа
Факторный анализ широко применяется в различных областях, где требуется анализировать и интерпретировать множество переменных. Ниже приведены некоторые примеры использования факторного анализа:
Психология и социальные науки
В психологии и социальных науках факторный анализ может использоваться для исследования структуры личности, выявления основных факторов, влияющих на поведение и предпочтения людей. Например, исследователи могут использовать факторный анализ для определения основных факторов, влияющих на уровень стресса у людей или для выявления факторов, влияющих на уровень удовлетворенности жизнью.
Маркетинг и реклама
В маркетинге и рекламе факторный анализ может использоваться для исследования предпочтений и поведения потребителей. Например, исследователи могут использовать факторный анализ для определения основных факторов, влияющих на выбор продукта или бренда, или для выявления факторов, влияющих на эффективность рекламной кампании.
Медицина и здравоохранение
В медицине и здравоохранении факторный анализ может использоваться для исследования факторов, влияющих на здоровье и болезни. Например, исследователи могут использовать факторный анализ для определения основных факторов, влияющих на развитие сердечно-сосудистых заболеваний или для выявления факторов, влияющих на эффективность лечения определенного заболевания.
Образование и педагогика
В образовании и педагогике факторный анализ может использоваться для исследования факторов, влияющих на успеваемость и обучение студентов. Например, исследователи могут использовать факторный анализ для определения основных факторов, влияющих на академическую успеваемость студентов или для выявления факторов, влияющих на эффективность образовательных программ.
Это лишь некоторые примеры использования факторного анализа. В целом, факторный анализ может быть полезным инструментом в любой области, где требуется анализировать и интерпретировать множество переменных и выявлять основные факторы, влияющие на исследуемые явления.
Сравнительная таблица по факторному анализу
| Аспект | Определение | Цели и задачи | Принципы | Методы | Процесс проведения | Интерпретация результатов | Применение в практике | Ограничения и предположения | Примеры использования |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Определение | Статистический метод, используемый для исследования взаимосвязей между набором переменных и выявления скрытых факторов, которые объясняют эти взаимосвязи. | Выявление скрытых факторов, сокращение размерности данных, понимание структуры данных. | Предположение о линейных зависимостях, независимость факторов, нормальность данных. | Метод главных компонент, метод максимального правдоподобия, метод анализа главных факторов. | Сбор данных, предварительная обработка, выбор метода, оценка факторной модели, интерпретация факторов. | Интерпретация факторов, определение значимости факторов, оценка вклада факторов. | Психология, социология, маркетинг, экономика, медицина. | Ограничение на количество переменных, предположение о нормальности данных, предположение о линейных зависимостях. | Анализ социальных опросов, исследование психологических тестов, анализ финансовых данных. |
Заключение
Факторный анализ является мощным инструментом для анализа данных и выявления скрытых факторов, которые могут влиять на наблюдаемые переменные. Он позволяет сократить размерность данных и выделить наиболее значимые факторы, что упрощает интерпретацию результатов и помогает в принятии решений.
В процессе проведения факторного анализа необходимо учитывать ограничения и предположения этого метода, а также правильно интерпретировать полученные результаты. Кроме того, факторный анализ может быть применен в различных практических задачах, таких как маркетинговые исследования, социологические опросы, психологические исследования и другие.
В целом, факторный анализ является важным инструментом для исследования и анализа данных, который может помочь в понимании скрытых факторов и влияния переменных на исследуемый процесс или явление.
Факторный анализ пример расчета
Ни одна компания не может обойтись без такого аналитического инструмента, как факторный анализ. Не важно, имеет ли бизнес миллионы прибыли или убытки — важно понимать, какие факторы оказали влияние на появления прибыли или убытка. Почему статья называется Факторный анализ простым языком? Почему именно простым?
Например, Википедия определяет факторный анализ как “многомерный метод, применяемый для изучения взаимосвязей между значениями переменных”. Отлично, только что делать, если мы только начинаем постигать азы аналитики в целом и факторного анализа в частности? Именно поэтому в данной статье рассмотрен самый простой пример факторного анализа на примере 3-х магазинов одной сети.
Мы проведем факторный анализ показателей реализации продукции, т.е. товарооборота, валовой прибыли и себестоимости складских запасов в разрезе трех магазинов компании и определим, как каждый из магазина в том или ином случае повлияли на общий результат компании. Таким образом, магазин будет являться фактором, который влияет на общий результат работы компании.
Факторный анализ пример расчета по продажам
Имеем такую таблицу, в которой показаны суммы продаж за 2019 и 2020 годы по трем магазинам сети. 
Как видите, товарооборот в 2020 году изменился по отношению к 2019 г. во всех магазинах. У кого-то уменьшился, у кого-то увеличился. И нужно понять, насколько изменение товарооборота конкретного магазина повлияло на общий результат деятельности компании.
Для этого добавим в таблицу следующие столбцы:
Для начала нашего факторного анализа посчитаем структуру товарооборота в 2019 году. Структура будет показывать долю каждого магазина в суммарных продажах за 2019 год.
Для этого в ячейку Е4 введем следующую формулу:
Нужно поделить продажи Магазина 1 на общую сумму продаж. Не забудьте закрепить значение итоговой ячейки C7 в формуле знаками $ ($C$7). Закрепить значение ячейки можно, установив курсор на C7 и нажав клавишу F4 (подробнее об абсолютных и относительных ссылках в *статье*). Это нужно для того, чтобы ссылка на итоговую ячейку не съехала при протягивании формулы вниз.
Для полученного результата выберем процентный формат ячейки и протянем формулу вниз:
На данном этапе факторного анализа видим, что наибольший вклад в товарооборот компании за 2019 г. внес Магазин 2 — 40%. В итоговой ячейке нужно просуммировать получившиеся проценты, сумма обязательно должна быть равна 100% — это значит, что все посчитано верно.
Далее в ячейке F4 посчитаем прирост продаж 2020 года к 2019. Для этого разделим сумму продаж за 2020 г на сумму за 2019 и отнимем единицу (стандартная формула для расчета изменения показателя).
Протянем формулу вниз, захватывая итоговую строку, и увидим, что продажи в 2020 г. в целом по компании выросли на 21% по отношению к предыдущему году. Также видим изменение товарооборота в каждом из магазинов.
И в завершении данного этапа факторного анализа нужно умножить долю магазина на прирост продаж. Для этого в ячейке G4 напишем следующую формулу:
Протянем формулу вниз до итоговой ячейки.
Что же можно увидеть из итоговых результатов факторного анализа по товарообороту?
В целом товарооборот, вырос на 21,5% (выведем десятые доли для наглядности). И эти 21,5% складываются из следующих составляющих (факторов):
Фактор “Магазин 1” дал -1,1 % прироста в изменении товарооборота компании (т.е. падение товарооборота, т.к. прирост отрицательный)
Фактор “Магазин 2” для 2,5 % прироста из 21%.
А вот Фактор “Магазин 3” дал 20,1% прироста в составе группы магазинов, и аж 89% по отношению к собственным продажам в предыдущем году.
В итоге:
-1,1% + 2,5% + 20,1% = 21,5%
Таким образом, этот простой пример факторного анализа показывает, что максимальный вклад в прирост товарооборота сделал фактор “Магазин 3”.
Но не будем останавливаться на достигнутом, т.к. нам, во-первых, нужно понять, так ли на самом деле успешен Магазин 3 (ведь конечной целью бизнеса является получение прибыли, а не выручки), а во-вторых, понять, чем можно объяснить такой большой прирост продаж по данному магазину и падение продаж по Магазину 1.
Факторный анализ по операционной прибыли
Что такое операционная прибыль, можно прочитать в статье Что такое прибыль. Виды прибыли
Факторный анализ по операционной прибыли проведем по тем же этапам, что и анализ по продажам. Используем те же дополнительные столбцы и такие же формулы (их можно даже скопировать).
В итоге видим, что Магазин 3, который показывал головокружительный рост выручки, по операционной прибыли уже не такой успешный.
О чем это может говорить? О том, что нужно проводить дополнительный анализ факторов, которые могли повлиять на операционную прибыль. В данном случае в Магазине 3 сильно увеличились издержки (намного сильнее, чем выросла выручка), и при дополнительном анализе нужно понять, какие именно это издержки. Возможно, значительно увеличился штат сотрудников или арендуемая площадь, и т.д.
Магазин 2 показал рост прибыли больше, чем рост выручки. Это может говорить о том, что данный магазин снизил издержки (например, сократился штат сотрудников).
Факторный анализ пример расчета по себестоимости складских запасов
Дополнительно можно провести факторный анализ складских запасов. Это нужно, чтобы понять, за счет чего изменяется выручка.
Проделаем те же шаги, что и на предыдущих двух этапах.
Видим, что у Магазин 3, который показал высокий рост выручки и совсем небольшой рост операционной прибыли, очень сильно выросла сумма складских запасов.
Какой можно сделать предварительный вывод? Например, что Магазин 3, увидев тенденцию к росту продаж, арендовал дополнительную площадь для хранения товарных запасов. А рост выручки хоть и был достаточно высок — но меньше ожидаемого, и в итоге аренда дополнительных площадей для хранения сказалась на прибыли не лучшим образом.
Таким вот нехитрым образом можно провести простой факторный анализ. Конечно, для полноценной аналитики этого может быть недостаточно, нужно учитывать еще множество факторов и составляющих. Но для того, чтобы увидеть общие тенденции, такого простого анализа бывает достаточно.
Более подробно о факторном анализе с примерами расчета можно прочитать в статьях:
Факторный анализ
Факторный анализ является мощным инструментом для изучения сложных данных, который позволяет выявить основную структуру информации и выделить важные факторы. Этот метод дает возможность более глубоко изучить взаимосвязи между переменными и понять, как они влияют на конечный результат. Если вы ищете эффективный способ определить, какие факторы играют решающую роль в вашей исследовательской задаче, то факторный анализ будет удачным выбором. В данной статье мы более подробно рассмотрим, что такое факторный анализ, какие задачи он может решить и как он применяется на практике. Если вы хотите усовершенствовать свой аналитический подход и достичь лучших результатов в своей работе, тогда приятного прочтения!
Что такое факторный анализ?
В современной статистике этот метод анализа данных используется для выявления скрытых факторов, которые оказывают влияние на наблюдаемые переменные. Основная идея факторного анализа заключается в том, что множество переменных можно свести к меньшему числу факторов, которые объясняют основные тенденции и связи между этими переменными.
Факторный анализ может применяться во многих областях, начиная от экономики и бизнеса и заканчивая медицинской и психологической статистикой. Данный метод помогает исследователям определить, какие факторы влияют на наблюдаемые переменные и какие именно переменные наиболее чувствительны к воздействию этих факторов.
Одной из важнейших задач, которую можно решить с помощью факторного анализа, является выявление основных факторов, которые оказывают влияние на изменение показателей в рамках определенной выборки. Кроме того, факторный анализ может использоваться для определения взаимосвязей между различными переменными, а также для предсказания значений этих переменных на основе имеющихся данных.
В целом, факторный анализ представляет собой мощный инструмент, который позволяет исследователям более глубоко и точно изучить взаимосвязи между различными переменными, выявить скрытые факторы и создать более точные модели для прогнозирования будущих значений этих переменных.
Теория факторного анализа
Основная идея факторного анализа состоит в том, чтобы выделить наиболее важные и значимые факторы в совокупности переменных, демонстрирующие схожие характеристики.
Для понимания факторного анализа необходимо знать основные понятия и определения, которые входят в его теоретический аппарат. Наиболее важными из них являются понятия «фактор», «факторная нагрузка», «коммунальность», «собственное число», «факторный пространство».
Фактор – это некая скрытая переменная, которая объясняет связь между совокупностью переменных. Факторы могут быть различными, например, в медицинской статистике факторами могут выступать заболевания, в экономике – параметры экономической деятельности, а в социологии – социальные факты. С помощью факторного анализа можно выделить наиболее значимые факторы, которые имеют наибольшую корреляцию с набором данных и объясняют наибольшую часть изменчивости.
Факторная нагрузка – это коэффициент, который показывает, насколько сильно каждый показатель влияет на данный фактор. Факторная нагрузка может быть положительной или отрицательной, что указывает на направление влияния. Чем выше факторная нагрузка, тем большую роль играет конкретный показатель в формировании данного фактора.
Коммунальность – это коэффициент, который показывает, насколько отдельный показатель объясняется общим фактором. Коммунальность близка к единице, если переменная является хорошим представителем данного фактора. Чем ближе коммунальность к нулю, тем слабее связь данной переменной с общим фактором.
Собственное число – это значение, которое отражает, насколько важный фактор можно выделить из набора данных. Собственное число рассчитывается на основе собственных векторов (см. ниже), и чем выше это число, тем важнее соответствующий фактор.
Факторное пространство – это многомерное пространство, в котором каждая переменная представлена фактором. Факторное пространство показывает, насколько сильна корреляция между различными показателями, и позволяет увидеть, какие переменные находятся ближе друг к другу и какие – дальше.
Принцип работы факторного анализа заключается в том, что анализируется матрица данных, где каждый столбец представляет собой переменную, а каждая строка – наблюдение.
В рамках факторного анализа, переменные группируются по сходству и факторизуются, то есть разделяются на основу общих свойств, которые присутствуют в их корреляционной структуре. С помощью факторного анализа можно выявлять зависимости между переменными и определять, какие из них наиболее значимы, а какие не влияют на общую картину.
Результатами факторного анализа могут быть главные компоненты, которые представляют собой комбинацию исходных переменных, а также их весовые коэффициенты. Основная цель факторного анализа – уменьшить количество переменных, минимизировать пересечения между ними и выявить настоящие отличительные признаки набора данных.
Методы факторного анализа
1. Метод главных компонент (PCA) — это метод факторного анализа, который используется для выделения наиболее важных факторов из большого количества переменных. Он основывается на поиске линейных комбинаций переменных, которые объясняют наибольшую долю изменчивости данных. Эти линейные комбинации называются главными компонентами.
Для реализации метода главных компонент необходимо выполнить следующие шаги:
1. Нормализовать данные, чтобы они имели среднее значение, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.
2. Вычислить ковариационную матрицу данных.
3. Вычислить собственные значения и собственные векторы этой матрицы.
4. Отсортировать собственные значения в порядке убывания и выбрать те, которые объясняют наибольшую долю изменчивости данных.
5. Использовать выбранные собственные векторы для вычисления главных компонент.
Давайте рассмотрим пример. Допустим, мы исследуем данные о студентах и хотим выяснить, какие переменные (например, возраст, пол, оценки и т. д.) имеют наибольшее влияние на успехи студентов в учебе. Метод главных компонент позволит нам выделить наиболее важные факторы и определить, какие переменные наиболее сильно связаны с успехами студентов. Например, мы можем обнаружить, что оценки по математике, физике и химии имеют наибольшее влияние на успехи студентов, и на основе этого в дальнейшем проводить более глубокий анализ данных.
2. Метод наименьших квадратов (PLS — Partial Least Squares):
Этот метод широко используется для решения задач множественной регрессии в большой размерности данных. Он позволяет свести большой набор измерений к более небольшому количеству значимых компонент, которые лучше всего описывают зависимости между ними.
Метод наименьших квадратов определяется по формуле на рисунке: 
Примером применения метода PLS может являться модель, которая должна оценить качество вина на основе множества физических и химических параметров, таких как содержание сахара, кислотности, воды и т.д.
3. Метод максимального правдоподобия (MLE — Maximum Likelihood Estimation):
Этот метод направлен на оценку параметров статистической модели на основе имеющихся данных. Он позволяет определить значение параметров, наиболее вероятно соответствующее наблюдаемым данным.
Например, метод максимального правдоподобия может быть использован для определения производительности процессора на основе ряда экспериментальных данных, при моделировании некоторых видов деталей или при выявлении зависимостей в медицинских исследованиях.
Примеры применения факторного анализа
Первый пример:
Для примера давайте рассмотрим набор данных о ресторанах. У нас есть 6 переменных: количество посетителей, качество еды, качество обслуживания, цена, расположение и оценка посетителей. Мы хотим объединить эти переменные в несколько факторов, чтобы выявить главные факторы, определяющие успех ресторана.
Для начала давайте импортируем необходимые библиотеки pandas, numpy и sklearn:
Мы создали датафрейм с 10 строками и 6 столбцами. Каждая строка представляет ресторан, а каждый столбец — переменную, описывающую ресторан. Теперь мы можем применить факторный анализ с использованием библиотеки sklearn:
Мы создали объект FactorAnalysis с двумя факторами и применили его к нашим данным. Затем мы преобразовали наши данные и вывели результаты. Вывод будет выглядеть так:
Второй пример:
Допустим, у нас есть набор данных о предпочтениях людей в пище. Наша задача – выявить наиболее значимые факторы (например, наличие вкусовых предпочтений к определенным продуктам).
Для начала, нам нужно импортировать необходимые библиотеки:
Затем, мы можем создать искуственный набор данных:
Далее, мы можем применить факторный анализ к нашим данным:
Здесь мы указываем, что хотим выделить 2 фактора. Результаты можно посмотреть, вызвав атрибут components_:
Здесь каждая строка соответствует одному из факторов. Например, первая строка показывает, какие продукты входят в первый фактор. Мы видим, что первый фактор наиболее значимо связан с мясом, фруктами и овощами, тогда как крупы и молоко имеют меньшую значимость.
Третий пример:
Для третьего примера мы будем использовать набор данных об ароматных свойствах вина. Для начала, нужно установить библиотеку factor_analyzer с помощью команды:
Затем, необходимо загрузить данные в набор данных pandas и провести их предварительную обработку:
Далее, мы можем использовать класс FactorAnalyzer из библиотеки factor_analyzer для проведения факторного анализа:
Результат выполнения кода будет выглядеть примерно так: 
В результате факторного анализа мы получили два фактора (см. переменную n_factors в классе FactorAnalyzer), для которых были рассчитаны факторные нагрузки и варианты объяснения. Таким образом, мы можем использовать эти значения для интерпретации полученных результатов и дальнейшей работы с данными.
Заключение
Факторный анализ является мощным инструментом для понимания сложных систем и может применяться в различных областях науки и бизнеса. Он также может быть использован для сжатия информации и улучшения предсказательных моделей. В целом, факторный анализ имеет большой потенциал в исследовании многомерных данных, и его применение будет продолжать расширяться в будущем.
Факторный анализ выручки
Экономисты используют различные виды анализа результатов деятельности предприятия, важнейший из которых — это факторный анализ. Его главная ценность в том, что факторный анализ позволяет понять, какие именно причины привели к возникновению отклонений фактических результатов от запланированных, или за счет каких факторов изменилась динамика фактических результатов работы компании за анализируемый период.
Любое предприятие может столкнуться с ситуацией, когда фактическая выручка меньше запланированной или по различным причинам на протяжении отчетного периода ее величина снижается. Руководство и менеджмент должны реагировать на такое негативное развитие событий и принять все возможные меры, чтобы увеличить выручку. Но для того чтобы выработать эффективные управленческие решения, необходимо понимать, какие именно причины и в какой степени повлияли на размер выручки от реализации продукции.
В статье рассмотрим, как при помощи факторного анализа выручки можно выявить причины негативных отклонений при реализации продукции.
Как взаимосвязаны факторы, влияющие на выручку
Величина выручки от реализации продукции равняется произведению количества единиц продукции на цену реализации её единицы. Но если мы говорим именно о факторном анализе выручки по ее отклонениям от плана или изменениям в каком-либо периоде, то эти показатели являются факторами первого уровня и на них в свою очередь влияют факторы второго уровня:
• на количество реализованной продукции влияют факторы объема и структуры продаж;
• на цену реализации единицы продукции — факторы ее себестоимости и сбытовой наценки.
Поэтому факторный анализ выручки проводится в два этапа:
• на первом этапе оценивается влияние на фактические результаты реализации продукции факторов первого уровня;
• на втором этапе величина этого влияния детализируется до факторов второго уровня.
В результате у руководства и менеджмента компании появляется достоверная информация о степени влияния различных факторов на отклонения или изменения величины выручки. Это позволяет воздействовать именно на те факторы, которые в наибольшей степени влияют на выручку предприятия.
Графически взаимосвязь указанных факторов можно отобразить следующим образом (см. рис.).
Как влияют на выручку факторы первого уровня
Рассмотрим, как оценить влияние на выручку факторов первого уровня при факторном анализе отклонений между фактической и запланированной выручкой за отчетный период:
• Влияние фактора количества реализуемой продукции определяется по формуле:
ΔФактора количества = (Фактическое количество реализованной продукции – Плановое количество реализованной продукции) × Плановая цена реализации единицы продукции.
• Влияние фактора цены реализации единицы продукции определяется по формуле:
ΔФактора цены = (Фактическая цена реализации единицы продукции – Плановая цена реализации единицы продукции) × Фактическое количество реализованной продукции.
Рассмотрим, как провести факторный анализ выручки, на примере производственного предприятия, которое выпускает и реализует три вида продукции. Нам нужно выяснить, какие факторы повлияли на отклонение фактической величины продаж по итогам третьего квартала 2022 г. от утвержденной планом величины продаж (табл. 1).
Как видим, по итогам анализируемого квартала не выполнен план продаж в целом на 5 250 000 руб., причем ни по одной из групп продукции. Соответственно, нужно провести факторный анализ отклонений и выяснить, почему план не выполнен.
Итак, этап 1: рассчитываем влияние на выручку факторов первого уровня.
На первом этапе факторного анализа рассчитываем влияние факторов первого уровня на отклонения фактической выручки от плановой, т. е. количества реализованной продукции и цены реализации единицы продукции.
• Влияние фактора количества по первой группе продукции:
Фактическое количество реализованной продукции (55 000 кг) – Плановое количество реализованной продукции (50 000 кг) × Плановая цена реализации одного кг продукции (200 руб.) = 1 000 000 руб.
• Влияние фактора цены реализации единицы продукции:
Фактическая цена реализации единицы продукции (150 руб.) – Плановая цена реализации единицы продукции (200 руб.) × Фактическое количество реализованной продукции (55 000 кг) = –2 750 000 руб.
• Общее совокупное влияние факторов первого уровня на отклонения продаж по первой группе продукции:
1 000 000 руб. – 2 750 000 руб. = –1 750 000 руб.
Полученные итоги говорят о том, что за счет большего количества фактически реализованной продукции по сравнению с запланированным выручка 3 квартала 2022 г. увеличилась на 1 000 000 руб., тогда как более низкая по сравнению с планом цена реализации 1 кг продукции привела к снижению выручки по сравнению с планом на 2 750 000 руб.
По итогам факторного анализа выручки 3 квартала делаем вывод, что в целом предприятие не выполнило план по выручке за счет фактора меньшего количества реализованной продукции (–5 500 000 руб.), тогда как фактор более высокой средней цены реализации килограмма продукции привел к росту выручки на 250 000 руб.
Как влияют на выручку факторы второго уровня
Для определения степени влияния на выручку факторов второго уровня используются более сложные формулы:
А. А. Гребенников,
главный экономист ГК «Резон»
Материал публикуется частично. Полностью его можно прочитать в журнале «Справочник экономиста» № 10, 2022.