Как найти общую производительность

Математика по полочкам

В таких задачах всегда присутствуют одни и те же величины, их три:
— первая величина — это время, за которое выполняется та или иная работа. Обозначают время буквой t.
— вторая величина — объём работы: сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Обозначим объем буквой О.
— третья величина — производительность. По сути, это скорость работы. Обозначим производительность буквой П.

Скорость любой работы, т.е. производительность можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время.
Получим формулу для производительности: П = О : t.

Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 7 часов?

Ответ: 4 часа

Пример. Красная Шапочка и Волк очень любят пирожки. Волк может съесть 24 пирожка за 4 часа, а Красная Шапочка — 35 пирожков за 7 часов. У Волка в корзинке 30 пирожков, а у Красной Шапочки — 20. Кто съест свои пирожки раньше, если они начали есть одновременно?

Задачи на совместную работу

Пример. Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая — за шесть часов. За какое время заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно?

Так как трубы работают вместе, складывают их производительности.
Для первой трубы, которая заполняет 1 бассейн за 4 часа: П = О:t = 1:4, т.е. за час первая труба заполнит 1/4 бассейна.
Для второй трубы: П = О:t = 1:6, т.е. вторая труба заполнит за час 1/6 бассейна.
Вместе, при совместной работе, трубы заполнят за час: 1/4 + 1/6 = 5/12 — две трубы за 1 час.
Объём работы 1 бассейн. Совместная производительность 5/12 бассейна в час.
t = О:П = 1 : 5/12 = 12/5 = 2,4 (ч.)
Ответ:2,4 часа.

УПРАЖНЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3. Два экскаватора роют траншею. Работая отдельно, первый может вырыть траншею за 10 дней, второй — за 16 дней. За сколько дней они выроют траншею, работая совместно?

4. Водоем заполняется первой трубой за 5 ч, а второй трубой за 4 ч. За сколько часов наполнится водоем, если будут одновременно работать две трубы?

5. Две наборщицы должны были набрать по 120 страниц каждая. Вторая наборщица набирала за 1 ч на 5 страниц мень­ше, чем первая, поэтому закончила работу на 2 ч позже. Сколько страниц в час набирала первая наборщица?

6. Две бригады рабочих должны по плану изготовить 240 деталей. Первая бригада работала 6 ч, а вторая — 5 ч. Сколь­ко деталей в час изготавливала каждая бригада, если первая делала на 4 детали в час меньше, чем вторая?

Производительность

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы рассмотрим очень интересную физическую величину — производительность.

Что такое сила?

Сила — это физическое явление, способное изменять форму материальных тел , вызывать их движение , менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в состояние покоя.

• ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы снеговика;

• на дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её и тележка сдвинулась с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение;

• далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала. Получается, что прохожий применил силу, тем самым привел тележку в состояние покоя.

Сила является физической величиной — мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается заглавной латинской буквой F.

Что такое работа?

Работа — это количественная мера действия силы на тело. Работа зависит от количества силы, приложенной на тело и от направления этой силы, а также от перемещения данного тела.

Например, если мы попробуем сдвинуть шкаф с места и он сдвинется, то можно сказать, что мы совершили работу, поскольку сила, которую мы приложили, привела к тому, что шкаф совершил перемещение на некоторое расстояние.

Если же мы, к примеру, попробуем толкнуть стену, то стена с места не сдвинется, а значит и работа не будет совершена, поскольку сила была приложена, но эта сила не вызвала никакого перемещения стены.

Работа обозначается заглавной латинской буквой A.

Производительность

Производительностью называют работу, выполненную за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Производительность обозначается латинской буквой v

Рассмотрим следующий пример. Два пекаря пекли булочки. Первый пекарь испёк 40 булочек за 10 минут, а второй 15 булочек за 5 минут. Как узнать, кто из пекарей работал быстрее, первый или второй?

Работал быстрее тот, кто за одну минуту выпекает больше булочек. Говорят, что у него производительность больше. Для нахождения производительности предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти производительность, надо выполненную работу разделить на время работы.

Также, можно воспользоваться формулой:

где v — производительность, A — выполненная работа, t — время работы.

Вернемся к нашей задаче. Зная правило или формулу нахождения производительности, можно определить сколько булочек приходится на одну минуту.

Найдём производительность первого пекаря. Разделим работу, которую он выполнил, на время которое он на нее затратил. Выполненная работа это количество испеченных им булочек, то есть 40, а время — 10 минут

40 : 10 = 4 булочки в минуту

Аналогично найдём производительность второго пекаря. Разделим 15 на 5

15 : 5 = 3 булочки в минуту

Первый пекарь в минуту выпекает больше булочек чем второй, значит его производительность выше. Отсюда делаем вывод, что работает он быстрее второго пекаря.

Также можно воспользоваться формулой нахождения производительности. В этом случае решение принимает следующий вид:

Под буквой v можно делать метки, указывающие для кого/чего мы находим производительность.

Задача 2. Тому нужно за 2 дня прочитать книгу, в которой 100 страниц. В первый день он читал 4 часа со скоростью 12 страниц в час. С какой скоростью ему надо читать оставшуюся часть книги, если у него есть на это 4 часа?

Узнаем сколько страниц Том прочитал в первый день. Он читал 12 страниц в час. Чтению в первый день он посвятил 4 часа, поэтому для нахождения количества прочитанных страниц в первый день, нужно 12 умножить на 4

12 × 4 = 48 страниц прочитано в первый день

Узнаем сколько страниц осталось прочесть. Вычтем из общего количества страниц ( 100 ) количество прочитанных страниц ( 48 )

100 − 48 = 52 страницы осталось прочесть

Осталось прочесть 52 страницы. Теперь найдем такую производительность, при которой Том сможет прочесть 52 страницы за 4 часа. Раскидаем 52 страницы на 4 часа поровну

52 : 4 = 13 страниц в час

Ответ: чтобы прочитать оставшуюся часть книги за 4 часа, Том должен читать ее со скоростью 13 страниц в час.

Замечание. В некоторых источниках слово «производительность» может быть заменено на слова «скорость», «эффективность», «продуктивность», «плодотворность».

Задача 3. Один насос работал 4 часа, выкачивая 158 вёдер воды в час, а другой — 3 часа, выкачивая 169 вёдер воды в час. Определить какой из насосов выкачал больше вёдер.

Решение

Определим сколько всего вёдер выкачал каждый насос по отдельности. Для этого умножим их производительность на время их работы:

158 в/ч × 4 = 632 вёдер выкачал первый насос

169 в/ч × 3 = 507 вёдер выкачал второй насос

Ответ: первый насос выкачала больше вёдер, чем второй.

Задача 4. За 2 часа насос выкачал 80 литров воды. Определить сколько литров он выкачает за 5 часов.

Решение

Сначала нужно определить сколько литров воды насос выкачивает за час. Для этого 80 литров разделим на 2 часа — получим 40 литров

80 : 2 = 40 литров в час

За один час насос выкачивает 40 литров воды. За 5 часов выкачает в пять раз больше

40 × 5 = 200 литров

Ответ: за 5 часов насос выкачает 200 литров воды.

Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную работу. Выполненная работа равна производительности умноженной на время работы:

A = v × t

Например, если производительность пекаря составляет 50 булочек в час, и он проработал 4 часа, то можно найти всю выполненную работу за эти четыре часа. Для этого производительность (50 бул/ч) нужно умножить на время его работы (4ч)

50 × 4 = 200 булочек

Если известны работа и производительность, то можно найти время работы. Время работы равно отношению выполненной работы к производительности:

Например, если в неделю бригада отстраивает 2 этажа, то можно узнать сколько недель потребуется для отстройки 8 этажей. Чтобы определить время отстройки восьми этажей, нужно выполненную работу (8 этажей) разделить на производительность (2 эт./нед):

Либо с помощью формулы, приведенной выше:

Если в неделю строится 2 этажа, то 8 этажей будет отстроено за четыре недели. В данном случае вся работа была равна восьми. Производительность была равна двум, поскольку по определению производительность есть работа, выполненная за единицу времени – в нашем случае два этажа за неделю.

Задача 6. Принтер работает с производительностью 70 стр./ч. Сколько страниц он напечатает за 5 часов?

Решение

Если в час принтер печатает 70 страниц, то за 5 часов он напечатает в 5 раз больше:

70 × 5 = 350 страниц

Также, решение можно записать с помощью формулы нахождения работы. В данном случае, количество напечатанных страниц являются выполненной работой:

A = v × t = 70 × 5 = 350 страниц

Задача 7. Принтер напечатал 350 страниц за 5 часов. С какой производительностью он работал?

Решение

Если в течении пяти часов принтер напечатал 350 страниц, то в течении часа он печатал . То есть работал с производительностью 70 страниц в час:

350 : 5 = 70 стр./ч.

Либо с помощью формулы нахождения производительности:

Задача 8. Принтер работал с производительностью 70 страниц в час и напечатал 350 страниц. Определить время работы принтера.

Решение

Выражение «работал с производительностью 70 страниц в час» означает, что в каждом часе принтер печатал по 70 страниц. И это продолжалось до тех пор, пока он не напечатал 350 страниц. Очевидно, что разделив 350 страниц по 70, мы определим время работы принтера, то есть узнаем сколько часов он работал

Либо с помощью формулы нахождения времени:

Задача 9. Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день — на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась ?

Решение

Определим сколько страниц напечатала машинистка во второй день. В условии сказано, что напечатала она на 12 страниц больше, чем в первый:

48 + 12 = 60 страниц во второй день.

Определим сколько страниц машинистка напечатала за два дня:

48 + 60 = 108 страниц за два дня.

На эту работу машинистка затратила 9 часов. Также сказано, что производительность её не менялась. Если мы разделим выполненную работу (108) на время выполнения (9), то определим производительность машинистки:

108 : 9 = 12 страниц в час.

Теперь мы можем определить сколько часов работала машинистка в каждый из двух дней. Для этого поочередно разделим выполненные работы в каждом из двух дней на производительность:

48 : 12 = 4 часа работала машинистка в первый день

60 : 12 = 5 часов работала машинистка во второй день.

Задача 10. Джон решил 10 примеров за 5 минут. С какой производительностью он решал эти примеры?

10 примеров это выполненная Джоном работа. 5 минут — время работы. Разделим выполненную работу на время работы и определим производительность Джона:

10 : 5 = 2 примера в минуту.

Производительность Джона равна двум примерам в минуту.

Задача 11. Джон решил несколько примеров за 5 минут. С какой производительностью он решил эти примеры?

Это та же самая задача, что и предыдущая, но в ней работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что Джон выполнил эту работу за 5 минут. Поэтому, конкретную производительность в такой задаче узнать нельзя. Но можно воспользоваться дробями. Обозначим выполненную работу через единицу. Тогда производительность работы Джона будет выражаться дробью – частью примеров, решенных за единицу времени. Если вы изучили задачи на дроби, то должны понимать о чем идёт речь.

Итак, обозначим выполненную работу через единицу:

Мы знаем, что для нахождения производительности, выполненную работу нужно разделить на время. Время работы у нас равно пяти минутам. Поэтому, единицу делим на пять минут:

Дробь выражает часть работы, выполненную Джоном за единицу времени. Если мы вернемся к предыдущей задаче, где выполненная работа была равна десяти примерам и найдем одну пятую от этой работы, то получим 2

Выражать выполненную работу через единицу часто приходится при решении задач на совместную работу.

Задачи на совместную работу

Задача 1. Первый мастер за 2 часа изготавливает 64 детали, а второй за 3 часа – 72 детали. За сколько часов они изготовят 336 деталей?

В данной задаче речь идет о совместной работе. Необходимо определить производительность обоих мастеров и найти время за которое они изготовят 336 деталей.

Для начала определим производительность первого мастера:

64 : 2 = 32 дет./час

Определим производительность второго мастера:

72 : 3 = 24 дет./час

Определим совместную производительность мастеров. Для этого сложим количество деталей, которые они изготавливают по отдельности за единицу времени. То есть сложим их производительности:

32 дет./час + 24 дет./час = 56 дет./час

Вместе за один час мастера изготавливают 56 деталей. Чтобы узнать за сколько часов они изготовят 336 деталей, нужно определить сколько раз 336 содержит по 56

336 : 56 = 6 часов

Задача 2. Первый мастер может покрасить забор за 20 минут, а второй мастер – за 30 минут. За сколько минут, работая вместе, они могут покрасить забор?

Решение

В данной задаче, в отличие от предыдущей, работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что эту работу первый мастер может выполнить за 20 минут, а второй за 30 минут.

В такой ситуации можно воспользоваться дробями. Мы можем обозначить всю работу (покраску забора) через единицу.

Итак, обозначим работу (покраску забора) через единицу:

Производительность первого мастера будет выражáться дробью . То есть за одну минуту он покрасит одну двадцатую часть забора. Единица это вся работа, а двадцать минут это время работы. Запишем производительность первого мастера с помощью формулы нахождения производительности:

А производительность второго мастера будет выражáться дробью . То есть за одну минуту он покрасит одну тридцатую часть забора:

Определим общую производительность мастеров. Для этого сложим дроби, выражающие производительность первого и второго мастеров:

/>это дробь, выражающая общую производительность обоих мастеров. То есть за одну минуту мастера вместе покрасят />часть забора.

Определим время за которое мастера покрасят забор вместе. Для этого воспользуемся формулой нахождения времени: разделим выполненную работу на общую производительность мастеров. Выполненная работа у нас выражена единицей, а производительность — дробью

Ответ: работая вместе, мастера покрасят забор за 12 минут.

Задача 3. Первый рабочий может выполнить заказ за 8 часов, а второй за 6 часов. Два часа они работали вместе, а заканчивал работу один второй рабочий. Сколько времени потребовалось для выполнения этого заказа?

Решение

Обозначим всю работу через единицу

Тогда первый рабочий за один час может выполнить часть работы, а второй рабочий часть работы. А вместе за один час они могут выполнить часть работы

Рабочие работали вместе два часа, поэтому умножим часть работы, выполняемую ими за один час на 2:

Остальную часть работы, а именно работы заканчивал один второй рабочий:

Второй рабочий за один час мог выполнить часть работы. Чтобы определить время за которое он завершил оставшуюся часть работы, воспользуемся формулой нахождения времени.

Переменная A теперь равна , переменная v —

Теперь определим общее время заказа. Первые два часа рабочие работали вместе, остальную часть работы второй рабочий выполнил за два с половиной часа, отсюда имеем 4,5 ч.

Ответ: для выполнения заказа потребовалось 4,5 ч.

Задача 4. Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, а другая – за 4 ч. За
сколько часов наполняют бассейн обе трубы, работая вместе?

Решение

Обозначим работу (наполнение бассейна) через единицу

Тогда первая труба за один час выполнит часть работы, а вторая труба — часть работы. Работая вместе за один час они выполнят часть работы:

Определим время за которое обе трубы наполняют бассейн, работая вместе:

2,4 это два целых часа и четыре десятых часа

А четыре десятых часа это 24 минуты

60 мин. × 0,4 = 24 мин.

Ответ: работая вместе обе трубы наполнят бассейн за 2 ч 24 мин.

Задачи для самостоятельного решения

Решение

Обозначим работу через единицу:

Тогда первая бригада за один час выполнит часть работы, а вторая за один час часть работы. Их общая производительность равна сумме дробей и :

Определим время за которое обе бригады выполнят задание, работая вместе:

Ответ: обе бригады выполнят задание за 3 часа.

Решение

Работа в данном случае это съедание копны сена. Обозначим её через единицу:

Тогда производительность лошади будет выражáться единицей, производительность коровы — дробью , производительность овцы — дробью . Их совместная производительность равна следующей сумме:

Определим время, за которое лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена:

Ответ: лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена за суток или 16 часов.

Решение

Работа в данном случае это наполнение сосуда. Обозначим эту работу через единицу:

В условии сказано, что сосуд наполняется шлангом за 12 минут. Значит в минуту будет наполняться часть сосуда. При этом сказано, что одновременно открыт кран сосуда и из него вытекает вода, которой наполняется сосуд. Вода, которая вытекает равна части сосуда, поскольку в условии сказано, что полный сосуд опорожняется за 20 минут.

В сосуд поступает воды больше, чем вытекает. Дробь больше, чем .

Несмотря на то, что часть поступающей в сосуд воды будет вытекать, с каждой минутой сосуд будет пополняться на определенную часть. Узнаем, что эта за часть. Для этого из поступающей части вычтем ту часть, которая вытекает:

Каждую минуту сосуд будет наполняться на .

Определим время за которое наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг:

Ответ: если одновременно открыть кран и вливать в пустой сосуд воду через шланг, то он наполнится за 30 минут.

Решение

Работа в данном случае это заполнение бассейна. Обозначим эту работу через единицу:

Производительность заполнения бассейна через первую трубу будет выражáться дробью , через вторую трубу — дробью . Совместная производительность будет выражáться дробью

Производительность по определению есть работа, выполненная за единицу времени. Значит дробь />является ответом к задаче, поскольку нас интересовало какая часть бассейна заполнится через обе трубы за 1 час. Это можно проверить, воспользовавшись формулой нахождения работы. Переменная v у нас имеет значение />, а переменная t равна единице (одному часу). Формула нахождения работы позволит нам определить какая часть работы будет выполнена за 1 час:

Ответ: за один час заполнится часть бассейна.

Решение

В задаче подразумевается, что экскаватор работал с одинаковой производительностью на протяжении всей работы. На работу требовалось затратить 10 ч. Проработано было 8 ч. Значит осталось еще 2 часа. На 2 часа приходятся оставшиеся 50 метров траншеи. Если разделить 50 метров на 2, то можно определить сколько метров экскаватор прокладывает за один час:

В час экскаватор прокладывал 25 метров. Работал он 10 часов. Умножим 25 на 10, мы определим общую длину траншеи:

Ответ: общая длина траншеи составляет 250 м.

Решение

Для удобства переведем время данное в задаче в секунды

6 мин 40 с = 400 с
8 мин = 480 с
13 мин 20 с = 800 с

Обозначим заполнение ванны через единицу:

Производительность первого крана будет выражáться дробью , производительность второго крана — дробью . Совместная производительность обоих кранов равна сумме дробей и

Одновременно с открытыми двумя кранами, вынута пробка из ванны. Поэтому часть поступающей в ванну воды сразу выходит через слив. Эта часть будет выражáться дробью .

С каждой секундой ванна будет пополняться на определенную часть воды. Узнаем какая это часть. Для этого из поступающей части воды вычтем ту часть, которая вытекает через слив.

Определим сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну:

Ванна наполнится за 300 секунд. Поскольку задача завершена, секунды можно обратно перевести в минуты. Триста секунд это пять минут:

Ответ: ванна заполнится за 5 мин.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

17 thoughts on “Производительность”

Спасибо за прекрасные уроки. Жду с нетерпением уроки на уравнениe. Знаю,знаю у вас пока времени нет =)

Одно замечание- некоторые действительно сложные примеры Вы недостаточно разъясняете…простое разжёвываете слишком, а сложное недостаточно…
А в целом большое спасибо.

Спасибо за урок!
Производительность и задачи на движение очень схожи между собой.

я, в общем-то, всё! остался урок по элементам статистики и перехожу на алгебру =) жаль здесь её нет(

31. Текстовые задачи Читать 0 мин.

Суть задач на производительность следующая: некоторую работу выполняют несколько человек или механизмов, работающих с постоянной для каждого из них производительностью. Они могут выполнять эту работу либо по отдельности, либо совместно друг с другом. Алгоритм решения здесь такой же, как и алгоритм решения задач на движение:

1. Анализ данных.
2. Составление таблицы.
3. Составление уравнения.
4. Решение уравнения.

Основные особенности решения задач на производительность:

• Задачи на производительность схожи с задачами на движение. Основная формула при решении: V = v·t. Сравните её с формулой для решения задач на движение S = v·t. Роль скорости v здесь играет производительность труда, а роль расстояния S — объем работы V.
• Объем работы может быть не дан по условию и его не нужно находить при решении задачи (нам просто напросто не важно, какой объем работы выполняется). В таком случае его можно обозначить какой-нибудь буквой, например, V или A. В процессе решения эта переменная, которой мы обозначили объем, сократится и её значение не придется находить.
• Также, если объем работы не дан по условию, удобно принять его просто за 1; тогда время t, требующееся для выполнения всей работы, иv – производительность труда, связаны формулой:

• В отличие от задач на движение, в задачах на производительность скорости выполнения работы не могут вычитаться, а могут только складываться друг с другом. Если два человека или механизма по отдельности работают с производительностями v₁и v₂, то вместе они будут работать быстрее (никак не медленнее), с суммарной производительностью v₁+ v₂, а время совместной работы будет равно:

Пример:

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение:

В задаче требуется найти производительность второго рабочего. Примем его скорость за x. Заполним таблицу.

В условии задачи сказано, что первый рабочий выполняет заказ на 2 часа быстрее, чем второй. На основании этого составим уравнение:

Получаем два корня, x₁= 20 и x₂= –25. Второй корень не подходит, так как производительность не может быть отрицательной.

Виды задач на производительность:

1. Задачи на совместную работу:

Задачи на совместную работу — это тип задач, в которых объектами, выполняющими работу, являются люди или группы людей: рабочие, ученики, операторы, бригады рабочих и т п. Объекты могут выполнять работу по отдельности, а могут — вместе.

Разберем простой пример. Двум рабочим требуется выполнить работу. Допустим, первый рабочий выполняет всю работу за 10 часов, а второй — за 5. Давайте найдем, за сколько часов рабочие справятся с работой, выполняя её вместе.

Получается, что если принять весь объем работ за 1, то первый рабочий выполняет $ \frac<1> <10>$ всей работы за час, а второй $ \frac<1> <10>$ то есть $ \frac<1> <10>$ всей работы за час. На рисунке весь объем работ — это 10 «кирпичиков», первый выполняет 1 «кирпичик» за час, а второй — 2. Тогда вместе они будут выполнять $ \frac<1><10>+ \frac<1><5>= \frac<3> <10>$ всей работы за час, или 3 «кирпичика»:

Чтобы найти совместную производительность рабочих, мы сложили друг с другом их собственные производительности. Теперь, чтобы найти время, за которое оба рабочих справятся с работой, выполняя её вместе, разделим полный объем работ на совместную производительность:

То есть вместе рабочие справятся с работой за 3 $ \frac<1> <3>$ часа, или за 3 часа 20 минут.

2. Задачи на бассейны и трубы:

Отдельно можно выделить группу задач на производительность — задачи на заполнение бассейна несколькими трубами. В таких задачах рабочим будут соответствовать насосы (или трубы) разной производительности, а объему работы — объем бассейна или иного резервуара.

Рассмотрим пример. Две трубы наполняют бассейн за 6 часов, а одна первая труба наполняет бассейн за 9 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Получается, что за 1 час две трубы наполняют $ \frac<1> <6>$ часть бассейна, а одна первая труба наполняет $ \frac<1> <9>$ часть бассейна: Так как вместе трубы наполняют бассейн водой со скоростью, равной сумме скоростей отдельно каждой из труб, то вторая труба наполняет бассейн со скоростью $ \frac<1><6>— \frac<1><9>= \frac<1> <18>$.

Таким образом, вторая труба заполнит бассейн за $ 1/\frac<1><18>=18 $ часов.

Подбор задач на совместную работу и производительность

Задачи этого типа содержат обычно сведения о выполнении несколь­кими субъектами (рабочими, механизмами, насосами и т.п.) некоторой работы, объём которой не указывается и не является искомым (например, перепечатка рукописи, изготовление деталей, рытьё тран­шей, заполнение через трубы водоёма и т.д.). Предполагается, что выполняемая работа проводится равномерно, т.е. с постоянной для каждо­го субъекта производительностью. Так как величина выполняемой работы (или объём заполняемого бассейна, например) нас не интересуют, то объём всей работы. или бассейна принимается за единицу. Время t , требующееся для выполнения всей работы, и Р — производительность труда, то есть величина работы, сделанной за единицу времени, связаны

соотношением P = 1/ t .Полезно знать стандартную схему решения типовых задач.

Пусть один рабочий выполняет некоторую работу за х часов, а другой — за у часов. Тогда за один час они выполнят соответственно 1/ x и 1/ y часть работы. Вместе за один час они выполнят 1/ x +1/ y часть работы. Следовательно, если они будут работать вместе, то вся работа будет выполнена за 1/ (1/ x + 1/ y )

Решение задач на совместную работу вызывает у учащихся трудности, поэтому при подготовке к экзамену можно начать с решения самых простых задач. Рассмотрим тип задач, при решении которых достаточно ввести только одну переменную.

Задача 1. Один штукатур может выполнить задание на 5 часов быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6 часов. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

Решение. Пусть первый штукатур выполняет задание за x часов, тогда второй штукатур выполнит это задание за x +5 часов. За 1 час совместной работы они выполнят 1/ x + 1/( x +5) задания. Составим уравнение

6×(1/ x + 1/( x +5))= 1 или x ² — 7 x -30 = 0. Решив данное уравнение ,получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый штукатур может выполнить работу за 10 часов , а второй — за 15 часов.

Задача 2 . Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них на выполнение всей работы потребовалось на 10 дней больше, чем другому?

Решение . Пусть первый рабочий тратит на всю работу x дней, тогда второй- ( x -10) дней. За 1 день совместной работы они выполняют 1/ x + 1/( x -10) задания. Составим уравнение

12×(1/ x + 1/( x -10)= 1 или x ²- 34 x +120=0. Решив данное уравнение, получим x =30 и x = 4. Условию задачи удовлетворяет только x =30 .Поэтому первый рабочий может выполнить работу за 30 дней, а второй – за 20 дней.

Задача 3. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором , если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее ,чем вторым?

Решение. Пусть первый трактор тратит на выполнение задания x дней, тогда второй – x + 5 дней. За 4 дня совместной работы оба трактора вспахали 4×(1/ x + 1/( x +5)) задания, то есть 2/3 поля. Составим уравнение 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 или x ² -7 x -30 = 0. . Решив данное уравнение, получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый трактор может вспахать поле за 10 часов , а второй — за 15 часов.

Задача 4 . Маша может напечатать 10 страниц за 1 ч. Таня – 4 страницы за 0,5 , а Оля- 3 страницы за 20 минут. Как девочкам распределить 54 страницы текста между собой , .чтобы каждая работала в течение одного и того же времени?

Решение . По условию Таня печатает 4 страницы за 0,5ч, т.е. 8 страниц за 1ч., а Оля – 9 страниц за 1ч. Обозначив за Х часов- время, в течение которого девочки работали, получим уравнение

10Х +8Х+9Х =54, откуда Х= 2.

Значит, Таня должна напечатать 20 страниц, Таня-16 страниц, а Оля 18 страниц.

Задача 5. На двух множительных аппаратах, работающих одновременно, можно сделать копию рукописи за 20 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждом аппарате в отдельности, если известно, что при работе на первом для этого потребуется на 30 мин меньше, чем при работе на втором?

Решение. Пусть Х мин — время, которое требуется на выполнение копии на первом аппарате, тогда Х+30 мин- время работы на втором аппарате. Тогда 1/Х копии выполняет первый аппарат за 1 мин, а 1/(Х+30) копии- второй аппарат.

Составим уравнение: 20× (1/Х + 1/(Х+30)) = 1, получим X ²-10 X -600= 0. Откуда Х =30 и Х = — 20. Условию задачи удовлетворяет Х= 30. Получили : 30 мин — время , за которое первый аппарат сделает копию, 60 мин- второй.

Задача 6. Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно , что при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?

Решение. Обозначив за Х дней- время , необходимое фирме А на выполнение заказа, тогда Х + 4 дней — время для фирмы В. При составлении уравнения необходимо учесть , что за 24 дня совместной работы будет выполнено не 1 заказ, а 5 заказов. Получим , 24× (1/ X + 1/( X +4)) = 5.Откуда следует 5 Х²- 28Х-96 = 0. Решив квадратное уравнение получаем, Х = 8 и Х = — 12/5. Первая фирма может выполнить заказ за 8 дней , фирма В – за 12 дней.

При решении следующих задач необходимо вводить более одной переменной и решать уже системы уравнений.

Задача 7. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?

Решение. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за х часов, а второй — за у часов. Из условия задачи имеем х = у -1. За 1 ч первый

рабочий выполнит 1/ x часть работы, а второй – 1/ y часть работы. Т .к. они работали вместе ¾ ч, то за это время они выполнили ¾ ( 1/ x + 1/ y )

часть работы. За 2и 1/4 ч работы второй выполнил 9/4× (1/ y ) часть работы. Т .к. вся работа выполнена, то составляем уравнение————————— ¾ ( 1/ x +1/ y )+9/4×1/ y =1 или

Подставив значение x в это уравнение, получаем ¾× 1/ ( y -1)+ 3×1/ y = 1. Сводим это уравнение к квадратному 4у 2 -19у + 12 = 0, которое имеет

решения у₁ = ч и у₂ = 4 ч. Первое решение не подходит (оба раб о чие только вместе работали ¾ ч!). Тогда у = 4 , а х = 3.

Ответ. 3 часа, 4 часа.

Задача 8. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй — на 20 мин, то бассейн будет наполнен.

Если первый кран открыть на 5 мин, а второй — на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна.

За какое время из каждого крана в отдельно­сти может заполниться весь бассейн?

Решение. Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за х мин, а из второго — за у 1 мин. Первый кран заполняет часть бассейна, а второй . За 10 мин из первого крана заполнится часть бассейна, а за 20 мин из второго крана — . Т .к. бассейн будет заполнен, то получаем первое уравнение: . Аналогично составляем второе уравнение (заполняется на весь бассейн, а только его объема). Для упрощения решения задачи введём новые переменные: Тогда имеем линейную систему уравнений:

решение которой будет u = v = . Отсюда получаем ответ: x = мин, y =50 мин.

Задача 9 . Двое выполняют работу. Сначала первый работал времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй рабо­тал времени, за которое первый закончил бы оставшуюся работу. Оба они выполнили только всей работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают её за 3 ч 36 мин?

Решение. Обозначим через х часов и у часов время, за которое вы­полняют всю работу первый и второй соответственно. Тогда и

— те части работы, которые они выполняют за 1ч. Работая (по усло­вию) времени, первый выполнит часть работы. Останется невыполненной часть работы, на которую первый затра­тил бы часов. По условию второй работает 1 /3 этого времени. Тогда он выполнит часть работы. Вдвоём они выполнили только всей работы. Следовательно, получаем уравнение . Работая совместно, за 1 час оба сделают + часть работы. Так как по условию задачи они сделают эту работу за 3 ч 36 мин (то есть з a 3 часа), то за 1 час они сделают всей работы. Отсюда 1/ x + 1/ y = 5/18. Обозначив в первом уравнении , получим квадратное уравнение

6 t 2 — 13 t + 6 = 0 , корни которого равны t ₁ =2/3 , t ₂ =3/2. Так как неизвестно, кто работает быстрее, то рассматриваем оба случая.

а) t = => у = х. Подставляем у во второе уравнение: Очевидно, что это не является решением

задачи, так как вместе они делают работу больше чем за З ч.

б) t =3/2 => y =3/2 x . Из второго уравнения имеем 1/ x +2/3× 1/ x =5/18.Отсюда х=6, у =9.

Задача10. В резервуар поступает вода из двух труб различных диа­метров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 m 3 воды. Во второй день была включена лишь малая труба. Она подала 14 м 3 воды, проработав на 5 ч дольше, чем в первый день. В третий день работа продолжалась столько же времени, сколько во второй, но снача­ла работали обе трубы, подав 21 м 3 воды. А затем работала лишь боль­шая труба, подавшая еще 20 м 3 воды. Найти производительность каждой трубы.

Решение. В данной задаче нет абстрактного понятия «объем водо­ема», а указываются конкретные объемы воды, которые поступают по трубам. Однако методика решения задачи фактически остается прежней.

Пусть меньшая и большая трубы перекачивают за 1 час х и у м 3 во­ды. Работая вместе, обе трубы подают х + у м 3 воды.

Следовательно, в первый день трубы работали 14/( x + y ) часов. Во второй день малая труба работала на 5 часов больше, т. е. 5+14/( x + y ). За это

время она подала 14 м 3 воды. Отсюда получаем первое уравнение 14 или 5+14/( x + y )=14/ x . В третий день обе трубы вместе работали21/( x + y ) часов, а затем большая труба работала 20/ x часов. Суммарное время труб совпадает со временем работы первой трубы во второй день, т. е.

5+14/( x + y ) =21/( x + y )+ 20/ x . Так как левые части уравнения равны, то имеем . Освободившись от знаменателей, получаем однородное уравнение 20 x 2 +27 xy -14 y 2 =0. Разделив уравнение на y 2 и обозначив x / y = t , имеем 20 t 2 +27 t -14=0. Из двух корней этого квадратного уравнения ( t ₁ = , t ₂ = ) по смыслу задачи подходит только t = . Следовательно, x = y . Подставив x в первое уравнение, находим y =5. Тогда x =2.

Задача 11. Две бригады, работая совместно, вырыли траншею за два дня. После этого они начали рыть траншею той же глубины и ширины, но длиннее первой в 5 раз. Сначала работала только первая бригада, а затем только вторая бригада, выполнив в полтора раза меньший объем работы, чем первая бригада. Рытье второй траншеи было закончено за 21 день. За сколько дней вторая бригада смогла бы вырыть первую траншею, если известно, что объем работы, выполняемый первой брига­дой за один день, больше объема работы, выполняемого за один день второй бригадой?

Решение. Эту задачу удобнее решать, если привести выполняемую работу к одному масштабу. Если обе бригады вырыли, работая вместе, первую траншею за 2 дня, то, очевидно, вторую траншею (в пять раз длиннее) они вырыли бы за 10 дней. Пусть первая бригада вырыла бы эту траншею за х дней, а вторая — за у, т.е. за 1 день первая вырыла бы часть траншеи, вторая — за 1/ y , а вместе -1/ x +1/ y часть траншеи.

Тогда имеем . Бригады при рытье второй траншеи работали раздельно. Если вторая бригада выполнила объем работы m , то (по условию задачи) — первая бригада . Так как m + m = m равно объему всей работы, принимаемому за единицу, то m = . Следовательно, вторая бригада выкопала траншеи и затратила на это у дней. Первая бригада выкопала траншеи и затратила х дней. Отсюда имеем или х = 35- . Подставляя х в первое уравнение, приходим к квадратному уравнению 2у 2 — 95у +1050 = 0, корнями которого будут у ₁ = и у₂ = 30. Тогда соответственно х₁ = и х₂ =15. Из условия задачи выбираем нужное: у = 30. Так как найденное значение относится ко второй траншее, то первую траншею (в пять раз короче) вторая бригада вырыла бы за 6 дней.

Задача 12. Три экскаватора участвовали в рытье котлована объемом 340 м 3 . За час первый экскаватор вынимает 40 м 3 фунта, второй — на с м 3 меньше первого, а третий — на 2с больше первого. Сначала работали одновременно первый и второй экскаваторы, и выкопали 140 м 3 грунта. Затем оставшуюся часть котлована выкопали, работая одновременно, первый и третий экскаваторы. Определить значения с (0<с<15), при котором котлован был выкопан за 4 ч, если работа велась без перерыва.

Решение. Так как первый экскаватор вынимает 40 м 3 грунта в час, то второй — (40-с) м 3 , а третий — (40+2с) м 3 фунта в час. Пусть пер­вый и второй экскаваторы вместе работали х часов. Тогда из условия задачи следует (40+40-с)х = 140 или (80-с)х = 140. Если первый и тре­тий экскаваторы работали вместе у часов, то имеем (40+40+2с)у = 340-140 или (80+2с)у — 200. Так как общее время работы равно 4 часам, то получаем для определения с следующее уравнение х + у = 4 или

Это уравнение равносильно квадратному уравнению с 2 -30с+ 200 = 0, решениями которого будут с₁ = 10 м 3 и с₂ = 20м 3 . По условию задачи подходит только

Задача 10. Каждому из двух рабочих поручили обработать одинако­вое количество деталей. Первый начал работу сразу и выполнил ее за 8 ч. Второй же потратил сначала больше 2 ч на наладку приспособления, а затем с его помощью закончил работу на 3 ч раньше первого. Извест­но, что второй рабочий через час после начала своей работы обработал столько же деталей, сколько к этому моменту обработал первый. Во сколько раз приспособление увеличивает производительность станка (т.е. количество обрабатываемых деталей за час работы)?

Решение. Это пример задачи, в которой не все неизвестные надо находить.

Обозначим время наладки станка вторым рабочим через х (по условию х>2). Пусть необходимо было обработать каждому по n деталей.

Тогда первый рабочий в час обрабатывает деталей, а второй деталей. Оба рабочих одинаковое число деталей обработали через час после начала работы второго. Это означает, что Отсюда получаем уравнение для определения х : х 2 -4х + 3-0 корнями которого будут х₁ = 1 и х₂ = 3. Т. к.

х > 2 , то необходимое значение — это х = 3. Следовательно, второй рабочий обра­батывает в час деталей. Т. к. первый рабочий в час обрабатывает

деталей, то отсюда находим, что приспособление увеличивает производительность труда в = 4 раза.

Задача 1 3. Трое рабочих должны изготовить некоторое количество деталей. Сначала к работе приступил только один рабочий, а через некоторое время к нему присоединился второй. Когда 1/6 часть всех деталей была изготовлена, к работе приступил и третий рабочий. Работу они закончили одновременно, причем каждый изготовил одинаковое коли­чество деталей. Сколько времени работал третий рабочий, если извест­но, что он работал на два часа меньше второго и что первый и второй, работая вместе, могли бы изготовить все требуемое количество деталей на 9 часов раньше, чем это бы сделал бы третий, работая отдельно?

Решение. Пусть первый рабочий работал х часов, а третий — у часов. Тогда второй рабочий работал на 2 часа больше, т. е. у+2 часа. Каждый из них изготовил равное количество деталей, т. е. по 1/3 всех деталей. Следовательно, все детали первый изготовил бы за 3х часов, второй за 3(у+2) часов, а третий — за 3у часов. Поэтому первый изготовляет в час часть всех деталей, второй — и третий — .

Так как все трое за время совместной работы изготовили всех дета­лей, то получаем первое уравнение (все трое вместе работали у часов)

Первый и второй, работая вместе, изготовили бы вместе все детали на 9 часов раньше, чем это сделал бы третий рабочий, работая один. Отсюда получаем второе уравнение

Эти два уравнения легко приводятся к равносильной системе

Выражая из второго уравнения х и подставляя в первое уравнение, по­лучаем у 3 -5у 2 — 32у — 36 = 0. Это уравнение разлагается на множители ( y — 9)(у + 2) 2 = 0.

Т. к. у > 0, то уравнение имеет только один нужный корень у = 9. Ответ: у = 9.

Задача 14. В котлован равномерно поступает вода, 10 одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 часов, а 15 таких насосов — за 6 ч. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?

Решение. Пусть объем котлована V m 3 , а производительность ка­ждого насоса — х м 3 в час. Вода в котлован поступает непрерывно. Т. к. неизвестно количество ее поступления, то обозначим через у м 3 в час — объем поступления воды в котлован. Десять насосов за 12 часов отка­чают х = 120х воды. Это количество воды равно полному объему котлована и объему той воды, которая поступит в котлован за 12 часов. Весь этот объем равен V +12 y . Приравнивая эти объемы, составляем первое уравнение 120х = V + 12 y .

Аналогично составляется уравнение для 15 таких насосов: 15-6 x = V + 6 y или 90 x = V + 6 y . Из первого уравнения имеем V = 120х — 12у. Подставляя V во второе уравнение, получаем у = 5х.

Время, в течение которого будут действовать 25 таких насосов, неиз­вестно. Обозначим его через t . Тогда, учитывая условия задачи, по аналогии составляем последнее уравнение. Имеем 25 tx = V + ty . Под­ставляя в это уравнение у и V находим 25 tx = 120х -12 5х + t 5х или 20 tx = 60х . Отсюда получаем t = 3 часа. Ответ: за 3 часа.

Задача 15. Две бригады работали вместе 15 дней, а затем к ним присоединилась третья бригада, и через 5 дней после этого вся работа была закончена. Известно, что вторая бригада вырабатывает за день на 20% больше первой. Вторая и третья бригады вместе могли бы выпол­нить всю работу за того времени, которое требуется для выполнения всей работы первой и третьей бригадами при их совместной работе. За какое время могли бы выполнить всю работу все три бригады, работая совместно?

Решение. Пусть всю работу, работая отдельно, первая, вторая и третья бригады выполняют соответственно за х, у и z дней. Тогда в день они выполняют часть работы. Преобразуя первое условие задачи в уравнение, считая, что весь объём работы равен единице, получаем

Так как вторая бригада вырабатывает 120% того, что делает первая (на 20% больше), то имеем или . (2)

Вторая и третья бригады выполнили бы всю работу за 1/ дней, а первая и третья – за 1/ дней. По условию первая величина равна

Второй, то есть 1/ . Отсюда получаем третье уравнение .

В задаче требуется определить время выполнения всей работы тремя бригадами, работающими вместе, то есть величину 1/ .

Очевидно, что решать систему уравнений (1)-(3) удобнее, если вве­сти новые переменные: , Требуется найти величину

l /( u + v + w ) .Тогда имеем равносильную систему

Решая эту линейную систему, легко находим u = Тогда искомая величина равна 1/ Таким образом, работая вместе все три бригады выполнят всю работу за 16 дней.

Ответ: за 16 дней.

Задача 16. Две фабрики должны совместно переработать некоторое количество сырья. Если бы производительность второй фабрики повысилась вдвое, то время, необходимое фабрикам для выполнения работы, уменьшилось бы на времени, необходимого для выполне­ния работы одной первой фабрикой. На какой фабрике производительность выше и во сколько раз, если известно, что каждая фабрика пере­работала не менее всего объёма сырья?

Решение. Пусть первая фабрика сможет выполнить всю работу за некоторое время х, а вторая — за у . Тогда производительность фабрик равна и . Работая совместно, фабрики смогут выполнить всю работу за время t ₁ = 1/ . Если бы производительность второй фабрики увеличилась в 2 раза, то она равнялась бы . Следовательно, фабрикам при совместной работе необходимо бы было затратить на всю работу времени t ₂ = 1/ Так как это время меньше на времени х, то составляем следующее уравнение t ₁ — х= t ₂ или .

Это уравнение легко приводится к виду 2у 2 -9ху + 4у 2 = 0 . В задаче требуется найти отношение производительностей фабрик. Производительность первой фабрики относится к производительности второй фабрики как : или как . . Следовательно, необходимо найти величину . Разделив последнее уравнение на х 2 и обозначив , имеем 2 u 2 -9 u + 4 = 0.

Уравнение имеет корни u ₁ = и u ₂ = 4 . Для выбора необходимо­го значения используем последнее условие задачи: каждая фабрика переработала не менее всего объема сырья. Это означает, что при u =4 первая фабрика за время переработки сырья второй фабрикой успела бы переработать даже большее, чем имеется, количество сырья (не менее ). Поэтому необходимо взять u = .

Ответ: производительность первой фабрики в 2 раза меньше про­изводительности второй фабрики.

Мы рассмотрели практически все типы встречаю­щихся задач на производительность.

1. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них заболел, и другой окончил работу, проработав еще 9 дней. Во сколько дней каждый рабо­чий отдельно может выполнить всю работу?

2. Некоторое число рабочих выполнили работу за несколько дней. Ес­ли число рабочих увеличится на 3, то работа будет сделана на 2 дня скорее, а если число рабочих увеличится на 12, то на 5 дней скорее. Определить число рабочих и время, необходимое для выполнения этой работы.

3. Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бас­сейн за 4 ч. Для заполнения половины бассейна первому насосу требуется времени на 4 ч больше, чем второму для заполнения трех четвертей бассейна. За какое время может наполнить бассейн каждый насос в отдельности?

4. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 2 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой -остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности?

5. Рабочие А и В работали одинаковое число дней. Если бы А работал на один день меньше, а В — на 7 дней меньше, то А заработал бы 72 доллара, а В — 64,8 доллара. Если бы, наоборот, бы А работал на 7 дней меньше, а В — на один день меньше, то В заработал бы на 32,4 доллара больше А. Сколько заработал каждый в действительности?

6. Два токаря должны были изготовить определенное число деталей. После трехчасовой совместной работы продолжал работать только второй токарь, который проработал еще 4 ч. После этого задание оказалось перевыполненным на 12,5%. За какое время мог бы выполнить задание каждый токарь, если известно, что второму на это понадобится на 4 ч меньше, чем первому?

7. В бассейн проведены 2 трубы. Если вода будет течь через одну вторую трубу, то бассейн наполнится на 3 часа быстрее, чем если бы вода текла только через одну первую трубу. Вода втекала в течение 5 часа через первую трубу, затем открыли вторую трубу, и через 10 часов бассейн наполнился. За сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности?

8. Для разгрузки баржи выделены бригады грузчиков. Если ко вре­мени, за которое первая бригада может разгрузить баржу, прибавить время, за которое вторая бригада может разгрузить баржу, то получится 12 ч. За сколько часов каждая бригада может разгрузить баржу, если разность этих часов составляет 45% всего времени, за которое обе бри­гады могут разгрузить баржу, работая совместно?

9. Для прокладки траншеи выделены два экскаватора разных типов. Время, необходимое первому экскаватору для прокладки траншеи, на 3 ч меньше времени, необходимого второму экскаватору для прокладки этой траншеи. Сколько часов требуется каждому экскаватору для прокладки траншеи, если сумма этих часов в раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи при совместной работе?

10. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала в течение 2 ч работали четыре крана одинаковой мощности, затем к ним присоединились еще два крана, но меньшей мощности, и через 3 ч после этого погрузка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы закончена за 4,5 ч. За сколько времени вы­полнят погрузку один кран большей и один кран меньшей мощности при совместной работе?

11. За n часов трактор вспахивает на p гектаров больше, чем ло­шадь. По сколько гектаров вспашут за n часов лошадь и трактор, если трактор вспахивает 1 га на t часов быстрее?

12. Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трех одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с пер­вой линией. Найдите время выполнения сменного задания первой линией.

13. Три экскаватора заняты на рытье котлована. Разность производи­тельности первого и третьего экскаваторов в 3 раза больше разности произ­водительности третьего и второго экскаваторов. Первый экскаватор выполняет всей работы за некоторое время. Такое же время потребуется, если сначала второй экскаватор выполнит всей работы, а затем третий экскаватор — оставшейся работы. Во сколько раз производительность первого экскаватора больше производительности второго?

14. Одну и ту же работу могут выполнить три бригады. Первая бригада выполняет всей работы за некоторое время. Такое же время потребуется, если сначала третья бригада выполнит всей работы, а затем вторая бригада выполнит оставшейся работы. Производительность третьей бригады равна полусумме производительностей первой и второй бригад. Во сколько раз производительность второй бригады больше производительности третьей бригады?

15. Две бригады штукатуров, работая совместно, оштукатурили жилой дом за 6 дней. В другой раз они оштукатурили клуб и выполнили втрое больший объем работы, чем на штукатурке жилого дома. В клубе сначала работала первая бригада, а затем ее сменила вторая бригада и довела работу до конца, причем первая бригада выполнила объем работы вдвое больший, чем вторая. Клуб они оштукатурили за 35 дней. За сколько дней первая бригада смогла бы оштукатурить жилой дом, если известно, что вторая бригада потратила бы на это более 14 дней?

16. Две бригады начали работу в 8 ч. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 ч выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 ч на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 ч на одну деталь меньше, чем в первый день. Работу брига­ды начали вместе в 8 ч и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада?

17. Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. Известно, что все трое вместе делают за час 20 деталей. К работе приступил сначала первый рабочий. Он сделал 20 деталей, затратив на их изготовление более 3 ч. Оставшуюся часть работы выполняли вместе второй и третий рабочие. На всю работу ушло 8 ч. Сколько часов потребовалось бы первому рабочему на изготовление всех 80 деталей?

18. Бассейн заполняется водой через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую трубу, и на 30 ч быстрее, чем через третью трубу. Известно, что пропускная способность третьей трубы в 2,5 раза меньше пропускной способности первой трубы и на 24 м 3 /ч меньше пропускной способности второй трубы. Найдите пропускную способность первой и третьей труб.

19. Два экскаватора, из которых первый имеет меньшую производи­тельность, вырыли при совместной работе котлован объемом 240 м 3 . Потом первый стал рыть второй котлован, а второй продолжал рыть первый. Через 7 ч после начала их работы объем первого котлована ока­зался на 480 м 3 больше объема второго котлована. На другой день вто­рой экскаватор увеличил свою производительность на 10 м 3 /ч, а первый уменьшил на 10 м 3 /ч. Сначала они вместе вырыли котлован в 240 м 3 , после чего первый стал рыть другой котлован, а второй продолжал рыть первый. Теперь объем первого котлована стал на 480 м 3 больше объема второго котлована уже через 5 ч после начала работы экскаваторов. Сколько грунта в час вынимали экскаваторы в первый день работы?

20. Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полностью. За один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 т зерна, а первая и третья вместе за 2 рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Какое количество зерна перевозит за один рейс вторая автомашина, если известно, что некоторое количество зерна вторая и третья перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей автомашине для перевозки того же количества зерна?

21. Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов раз­ной производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжать наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 ч 30 мин. При одновременной работе обоих насосов бассейн наполняется за 1412 мин. Какую часть бассейна наполняет за 20 мин работы насос меньшей производительности?

22. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 дней. Если бы сначала первый сделал половину работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 дней. За какое время мог выполнить эту работу каждый в отдельности?

23. Бассейн наполняется водой через две трубы за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч скорее, чем одна вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может заполнить бассейн?

24. Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стену, причем первый каменщик проработал 6 ч, второй — 4 ч и третий — 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй — 2 ч и третий -5 ч, то было бы выполнено лишь всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали все вместе одно и то же время?

25. Экскаватор роет котлован. После того как было вынуто 20 м 3 грунта, производительность экскаватора снизилась на 5 м 3 /ч. Найдите первоначальную производительность экскаватора, если через 8 ч после работы было вынуто 50 м 3 грунта.

26. Две артели с разным числом мастеров одинаковой квалификации начали изготавливать шапки, причем каждый мастер делал по 2 шапки за рабочий день. Сперва работала только первая артель, выпустившая 32 шапки. Затем ее сменила вторая, выпустившая еще 48 шапок. Вся эта работа заняла 4 дня. После этого артели стали работать вместе и за сле­дующие 6 дней изготовили еще 240 шапок. Сколько мастеров в каждой артели?

27. Два экскаватора разных марок (один экскаватор марки А, а дру­гой марки В), работая одновременно, выкапывают котлован вместимо­стью 20000 м 3 за 10 суток. Если бы работал только экскаватор марки В, то он выкопал бы этот котлован на 8 суток скорее, чем тот же котло­ван выкопал бы один экскаватор марки А. Сколько кубических метров в сутки выкапывает каждый из экскаваторов?

28. Два экскаватора разной конструкции должны проложить две траншеи одинакового поперечного сечения длиной в 960 ми 180 м. Вся работа продолжалась 22 дня, в течение которых первый экскаватор прокладывал большую траншею. Второй же экскаватор начал работать на 6 дней позже первого, отрыл меньшую траншею, 3 дня ремонтировался и затем помогал первому. Если бы не нужно было тратить времени на ре­монт, то работа была бы кончена за 21 день. Сколько метров траншеи может отрыть в день каждый экскаватор?

29. Три бригады вспахали два поля общей площадью 120 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней первой и второй бригадами. Если бы все три бригады проработали на втором поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла бы вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день вспахивала вторая бригада?

30. К двум бассейнам подведены две трубы равного диаметра (к ка­ждому бассейну своя труба). Через первую трубу налили в первый бассейн определенный объем воды и сразу после этого во второй бассейн через вторую трубу налили такой же объем воды, причем на все это уш­ло 16 ч. Если бы через первую трубу вода текла столько времени, сколько через вторую, а через вторую — столько времени, сколько через пер­вую, то через первую трубу налили бы воды на 320 м 3 меньше, чем че­рез вторую. Если бы через первую проходило бы на 10 м 3 меньше, а через вторую — на 10 м 3 больше воды, то, чтобы налить в бассейн (сначала в первый, а потом во второй) первоначальные объемы воды, ушло бы 20 ч. Сколько времени лилась вода через каждую из труб?

31. Две автоколонны, состоящие из одинакового числа машин, перевозят груз. В каждой из автоколонн машины имеют одинаковую грузоподъемность и во время рейсов загружаются полностью. Грузоподъемность машин в разных колоннах различна, и за 1 рейс первая автоколон­на перевозит на 40 т груза больше, чем вторая автоколонна. Если уменьшить число машин в первой автоколонне на 2, а во второй автоко­лонне — на 10, то первая автоколонна перевезет 90 т груза за 1 рейс, а вторая автоколонна перевезет 90 т груза за 3 рейса. Какова грузоподъ­емность машин второй автоколонны?

32. Один рабочий может изготовить партию деталей за 12 ч. Работу начал один рабочий, через час к нему присоединился еще один, еще через час — третий и т. д., пока работа не была выполнена. Сколько времени проработал первый рабочий? (Производительность труда всех рабочих одинакова.)

33. Бригада рабочих одинаковой квалификации должна была изготовить партию деталей. Сначала к работе приступил один рабочий, через час к нему присоединился второй, еще через час — третий и т. д., до тех пор, пока к работе не приступила вся бригада. Если бы с самого начала работали все члены бригады, то работа была бы выполнена на 2 ч быстрее. Сколько рабочих в бригаде?

34. Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, для того чтобы вы­рыть всю канаву, затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы с самого начала работали все трое рабочих одновременно?